Wie zeige ich am leichtesten, dass diese Folge konvergiert und wie gebe ich den Grenzwert an?

Question

Hi!
Es geht um folgende Folge:

\( a_n := \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)



Wie zeige ich am leichtesten, dass diese Folge konvergiert und wie gebe ich den Grenzwert an?

Vielen Dank!

Answer 1

Durch Multiplikation von einer nahrhaften Eins, welche die dritte binomische Formel provoziert:$$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot \underbrace{\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}_{=1}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\xrightarrow{n\to \infty}0$$