Zeigen Sie, dass ein c \in[a, b] existiert (Stetige Funktion)

Question

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion und seien \( p, q>0 \). Zeigen Sie, dass ein \( c \in[a, b] \) existiert, so dass
$$ p f(a)+q f(b)=(p+q) f(c) $$

Answer 1

Nehme O.E an f(a)<f(b), dann gilt:

1) p * f(a) + q* f(b) < (p+q) * f(b)

2) p * f(a) + q* f(b) > (p+q) * f(a)

Stelle nun die Hilfsfunktion g(x):= p * f(a) + q* f(b) -(p+q) * f(x)

Aus den Rechenregeln für Stetigkeit folgt: g ist Stetig und aus 1) +2) folgt:

g(a) > 0 und g(b) < 0

Mit Hilfe des Mittelwertsatzes folgt:

Es existiert ein c ∈ [a,b] sodass g(c)=0 und daraus folgt dann die Gleichheit da :

p * f(a) + q* f(b) -(p+q) * f(c) = 0 ==> p * f(a) + q* f(b) = (p+q) * f(c)

Comments

Übrigens f(a) < f(b) kannst du O.E. annehmen da der Fall f(a)=f(b) trivial ist (Distributivgesetz anwenden) und der Fall f(a)> f(b) läuft Analog ab.