Aufgabe:
Text erkannt:
Gegeben seien eine offene Menge \( D \subseteq \mathbb{R}^{3} \) und ein Vektorfeld \( \vec{f}: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} . \) Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. Gib dabei jeweils einen Beweis oder ein konkretes Gegenbeispiel an:
(i) Wenn \( \vec{f} \) ein Potential hat, dann hat auch das durch
$$ \vec{g}(\vec{x}):=\vec{x}+\vec{f}(\vec{x}) $$
definierte Vektorfeld \( \vec{g}: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ein Potential.
(ii) Falls \( \vec{f} \) in der Form
$$ \vec{f}(x, y, z)=\left[\begin{array}{l} h_{1}(x) \\ h_{2}(y) \\ h_{3}(z) \end{array}\right] $$
für alle \( (x, y, z) \in D \) mit stetigen Fur'stionen \( h_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) für \( i=1,2,3 \) dargestellt werden kann, hat \( \vec{f} \) ein Potential.
Problem/Ansatz:
Also ich denke, dass (i) korrekt ist. Der Definitionsbereich muss konvex sein und nach der Definition der Rotation für ein Vektorfeld sollte vec x wegfallen.
Bei (ii) wäre ja grundsätzlich das Gleiche der Fall, nun frage ich mich aber, ist es so, dass wenn alle drei Komponentenfunktionen von R->R abbilden, dass der Definitionsbereich der R^3 ist? Da ja rot f = 0 gilt, müsste man ja lediglich noch wissen, ob der Definitionsbereich konvex ist. Könnte mir jemand Klarheit verschaffen? Vielen Dank im voraus
