Bestimmung des Konvergenzradius

Question

Aufgabe:

Bestimmung des Konvergenzradius der komplexwertigen Reihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}  , wobei    z\in \mathbb{C} \)

Problem/Ansatz:

Ich wollte zunächst den Konvergenzradius mit \(ρ:= \frac{1}{\limsup\limits_{x\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} }\)  bestimmen.

Problem dabei ist, dass ich nicht weiß welcher Teil mein \(a_{n} \) sein soll. Auch das Umschreiben von z in Real- und Imaginärteil bringt mich nicht viel weiter. Sobald ich die Folge mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfe, erhalte ich 1, also ist keine Aussage möglich...

Schonmal vielen Dank im voraus!

Comments

Hallo,

im WKriterium muss der Betrag von \(a_n\) genommen werden. Wie ist \(n^z\) für komplexes z deifniert?

Gruß MthePeter

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Verstehe nicht genau was die Frage ist...

Wir sollen zeigen Rez > roh für jedes roh > 1 konvergiert

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Also klar, das z muss einen Real und einen Imaginärteil besitzen.

daher kann ich das   \(n^{-z}     in     n^{-Rez}*n^{-Imz}\)   umschreiben. Weiß aber nicht so recht was mir das dann bringen soll...

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"Wir sollen zeigen Rez > roh für jedes roh > 1 konvergiert"

Diesen Satz habe ich nicht verstanden.

Meine Frage war: Wenn Du etwas über \(n^{-z}\) aussagen willst, musst Du doch wissen, wie es definiert ist. Konkret: Was ist zum Beispiel \(n^{2+4i}\)?

Gruß

Answer 1

Es handelt sich nicht um eine Potenzreihe.

Daher gibt es keinen Sinn, ein Konvergenzkriterium für

Potenzreihen anzuwenden. Ebenso ist dann auch der Begriff

des Konvergenzradius fehl am Platze.

Ein ein komplexes \(z=x+iy\) mit \(x=Re(z), \; y=Im(z)\) ist

\(\frac{1}{n^z}=n^{-z}=\exp(-z\ln(n))=\exp(-(x+iy)\ln(n))=\)

\(=\exp(-x\ln(n))\cdot \exp(-iy\ln(n))\).

Damit ergibt sich

\(|\frac{1}{n^z}|=\exp(-x\ln(n))=\frac{1}{n^x}\).

Es ist bekannt, dass \(\sum \frac{1}{n^x}\) für \(x>1\) konvergiert, jedoch

für \(x\leq 1\) divergiert, d.h. unsere Reihe konvergiert absolut

in der Halbebene \(Re(z)>1\).