Aufgabe:
Linearkombination der Basisvektoren
Problem/Ansatz:
Hallo,
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Könnte mir jemand bei b) helfen wie ich dort rechnen muss und c) verstehe ich leider gar nicht :/
Text erkannt:
2. Ein Teilchen bewegt sich zufällig zwischen drei Punkten \( 1,2, \) und \( 3 . \) Sei \( \left(p_{k}\right)_{i}, i=1,2,3 \) die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen nach dem \( k \) -ten Schritt im Punkt \( i \) befindet. Wir nehmen an, dass \( p_{k+1}=A p_{k}, \) wobei \( p_{k}=\left(\left(p_{k}\right)_{1},\left(p_{k}\right)_{2},\left(p_{k}\right)_{3}\right) \) und
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\right) $$
Dabei bezeichnet \( a_{i j} \) die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen vom Punkt \( j \) zum Punkt \( i \) bewegt.
a) Zeigen Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist und bestimmen Sie eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \), welche aus Eigenvektoren von \( A \) besteht.
b) Sei \( p_{0}=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \). Stellen Sie \( p_{0} \) als Linearkombination der in a) gefundenen Basisvektoren dar.
c) Berechnen Sie \( p_{k}, k \in \mathbb{N} \) und bestimmen Sie \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(p_{k}\right)_{i}, i=1,2,3 \).
(8 Punkte)
