Differenzialgleichung Umformung y'=sin(t)*y-2*sin(t)^cos(t)

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Differenzialgleichung

y'=sin(t)*y-2*sin(t)^cos(t)

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre zuerst y und t jeweils auf eine Seite zu bringen, schaffe es aber leider nicht. Kann mir dabei jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

y'=sin(t)*y-2*sin(t)cos(t)

Lösung via " Variation der Konstanten"

1) homogene Gleichung:

y'-sin(t)*y =0  ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dt = y sin(t)

dy/y= sin(t) dt

ln|y|=-cos(t) +C

yh= C₁ * e^(-cos(t)

2) C₁=C(t)

yp=C(t) * e^(-cos(t)->Produktregel

yp'=...

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(t) muß sich herauskürzen

C(t)= ...

4) yp=C(t)* e^(-cos(t)

5)y= yh+yp

Lösung:

\( y(t)=c_{1} e^{-\cos (t)}+2 \cos (t)-2 \)