Differenzialgleichung y"+2y'+y=t+1

Question

Aufgabe

Differenzialgleichung y"+2y'+y=t+1

Problem/Ansatz:

Meine Idee: Zuerst die Nullstellen bestimmen -> Doppelnullstelle -1

Homogene Gleichung aufstellen -> a*e^-t+b*t*e^-t

leider komme ich mit der Störfunktion nicht weiter. Eventuell kann mir jemand den richtigen Ansatz nennen bzw. zeigen wie man auf die partikuläre Lösung aufstellt.

Answer 1

Hallo,

y"+2y'+y=t+1

->Charakt. Gleichung:

k^2 +2x+1=0

k_1.2= -1± √(1-1)

k_1.2= -1 ------>

yh=y_{1}(t)+y_{2}(t)=c_{1} e^{-t}+c_{2} e^{-t} t

Ansätze part. Lösung:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2, letzte Tabelle

yp= A+Bt , 2 Mal ableiten , yp und yp' und yp'' in die DGL einsetzen

->Koeffizientenvergleich

Lösung:

y=y_h+y_p

\( y(t)=c_{2} e^{-t} t+c_{1} e^{-t}+t-1 \)

Comments

Vielen dank für die Antwort.

Die Lösungsansätze helfen mir sehr weiter, vielen Dank dafür! :)

Um nochmal sicher zu gehen:

Zweite Tabelle Seite 2 oberste Zeile der Tabelle, da a0=1

und dann wäre der Ansatz aus der Tabelle ja c0+c1x was das gleiche wie a+bt ist, richtig?

Beim Ableiten bin ich mir immer etwas unsicher:

yp= a+bt

yp'= b

yp'' = 0

y"+2y'+y -> 2b+a+bt

-> b=1 a=-1

das setze ich in yp ein, also -1+1*t -> t-1

Mfg Manuel

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und dann wäre der Ansatz aus der Tabelle ja c0+c1x was das gleiche wie a+bt ist, richtig? ->JA

also  t-1 ->JA

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Vielen Dank!