Geraden im Raum 12. Klasse

Question

Aufgabe:

Also ich muss diese Ausgabe hier erledigen, aber ich weiß nicht, wie die gehen soll... Habe eine von drei geschafft. Aber bei den beiden habe ich keine Ahnung.

Also die Aufgabe lautet:

a) Geben Sie eine Parametergleichung der Geraden g durch den Punkt A mit dem     Richtungsvektor v (mit Pfeil oben drauf) an. Zeichnen Sie die Gerade in ein Kordinatensystem ein.

1. A (2 | 1 | -2) , v(Pfeil drüber)= (-4 | 2 | 4)

2. A (-3 | -3 | 1), v(Pfeil drüber)= (3 | 2 |-1)

b) Bestimmen Sie den Punkt auf g, dessen x3-Koordinaten null beträgt. Welche geometrische Bedeutung hat dieser Punkt?

Comments

Habe eine von drei geschafft.

Was hindert Dich daran, die anderen beiden mit derselben Methode zu lösen?

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Die bekomme ich nicht alleine hin... habe die in der Nachhilfe gemacht... aber momentan kann ich wegen corona nicht mehr dort hin.. ich bin schlecht in mathe..

Answer 1

Parametergleichung der Geraden g durch den Punkt A mit dem   Richtungsvektor v

\(g: \vec{x}=\vec{OA} + r\cdot \vec{v}\).

Dabei ist \(\vec{OA}\) der Ortsvektor von \(A\).

Bestimmen Sie den Punkt auf g, dessen x3-Koordinaten null beträgt.

Setze \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\) für \(\vec{x}\) ein und löse die Gleichung.

Welche geometrische Bedeutung hat dieser Punkt?

Zeichne den Punkt im Koordinatensystem ein. Dann erkennst du die geometrische Bedeutung.

Tipp: Neben den drei Koordinatenachsen gibt es auch Koordinatenebenen.

Comments

Hilft mir leider nicht weiter.. die Schritte sind wir in der Schule auch schon durchgegangen, aber ich kann es trotzdem nicht

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Welche Schritte genau kannst du denn nicht?

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Eig alle.. ich brauche immer ein konkretes und ausführliche Lösung & anhand dessen kann ich das dann meistens. Zu diesem neuen thema habe ich aber leider noch keins. Meinetwegen kannst du mir auch eins mit anderen zahlen machen. Aber wie gesagt, ich brauche irgendwie in mathe in jeder Thematik ein konkretes und ausführliches bsp...

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gegeben:

A (2 | 1 | -2) , v(Pfeil drüber)= (-4 | 2 | 4)

A ist ein Punkt, \( \vec{v} \) ist der Richtungsvektor, der angibt, in welche Richtung die Gerade g durch den Punkt A verläuft.

Wenn Punkt und Richtungsvektor gegeben sind, stellst du die Geradengleichung immer so auf:

g: \( \vec{x} \) =\( \vec{a} \) + \(r\cdot \vec{v}\)

\( \vec{a} \) = Koordinaten des (Anbindungs-)Punktes

r Parameter, der auch durch einen anderen Buchstaben dargestellt werden kann

\( \vec{v} \) Koordinaten des Richtungsvektors

Hast du das soweit verstanden?

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Bis auf

a = Koordinaten des (Anbindungs-)Punktes

Ja

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Schau dir mal die Geradengleichung an, die döschwo aufgestellt hat. Die erste Klammer entspricht den Koordinaten des Punktes A.

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Aber das gehört ja zu b)

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Entschuldigung, ich meinte die Gleichung von mathef

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -4\\2\\4 \end{pmatrix}$$

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Das weiß ich jetzt, was muss ich damit machen?

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Damit hast du die Aufgabenstellung a) 1 erfüllt

a) Geben Sie eine Parametergleichung der Geraden g durch den Punkt A mit dem   Richtungsvektor v (mit Pfeil oben drauf) an.

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Muss man das nicht irgendwie ausrechnen?

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Wenn da steht "Geben Sie eine Gleichung" an, gibt es nichts zu rechnen, sondern nur die Gleichung aufzustellen.

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Habe mich verschrieben.. es muss die Parameterdarstellung abgeben werden, das ist nicht das selbe, oder?

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Doch das ist es. Der Parameter ist hier t.

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Und wie rechnet man t aus?

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Man rechnet \(t\) aus mittels "Setze \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\) für \(\vec{x}\) ein und löse die Gleichung".

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t wird nicht ausgerechnet, sondern ist ein Parameter, der eine beliebige Zahl darstellen kann.

Die Geradengleichung könnte auch lauten

\(g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -4\\2\\4 \end{pmatrix}\)

oder

\(g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -4\\2\\4 \end{pmatrix}\)

Zu jedem Wert des Parameters gehört genau ein Punkt auf der Geraden.

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Zur Angabe der Parametergleichung wird \(t\) tatsächlich nicht ausgerechnet. Das bleibt eine Variable. Im Zuge des Aufgabenteils "Bestimmen Sie den Punkt auf g, dessen x₃-Koordinaten null beträgt." wird \(t\) aber ausgerechnet; und zwar so wie ich das beschrieben habe.

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Okay danke, ich werde das jetzt mal alleine versuchen. Vielleicht werde ich mich später noch einmallnmal melden ! :)

Answer 2

a 1: $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -4\\2\\4 \end{pmatrix}$$

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(2%7C1%7C-2%20-4%7C2%7C4%20%22v%22)%0Apunkt(2%7C1%7C-2%20%22A%22)

Comments

Diesen Ansatz habe ich auch schon

Answer 3

b)

Wenn x₃ = 0 dann wird aus der in der Antwort von Mathef gegebenen Parameterform, die ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen in vier Unbekannten (x₁, x₂, x₃ und t) ist, und darum nicht lösbar, und darum nicht einen Punkt beschreibt sondern eine Gerade, eines mit drei Unbekannten. Das kann man lösen und erhält so den gesuchten Punkt. Es ist der Durchstosspunkt der Geraden durch die x₁-x₂-Ebene des Koordinatensystems.