Erzeugendensystem und Basis im R3 finden mit einer Unbekannten

Question

Aufgabe:

Gegeben sind Vektoren:
a=(1, 1, 2)T, b=(λ, 0, 2)T , c=(1, 2, 3)T ∈ R3 , λ ∈ R
a) Für welche λ ∈ R bilden die Vektoren a, b und c ein Erzeugendensystem
des R3? Handelt es sich in diesen Fällen um eine Basis des R3?

Ansatz:
Soweit ich das verstanden habe ist ein Erzeugendensystem von einem Raum (hier R3), die Vektoren welche jeden Punkt in diesem Raum mithilfe einer Linearkombination darstellen können, d.h. wenn alle drei Vektoren linear unabhängig sind, dann bilden diese das Erzeugendensystem. Deswegen habe ich erstmal überprüft ob a und c linear unabhängig sind, was sie sind da die Gleichungssysteme keine einheitliche Lösung haben.
Stimmt das jetzt so oder brauch man die lineare Unabhängigkeit überhaupt für ein Erzeugendensystem und inwiefern hängt das genau mit der Basis zusammen?

Text erkannt:

a) \( \varphi_{1}\left(\hat{\lambda}_{2}\right)+\varphi_{2}\left(\begin{array}{l}\hat{1} \\ z\end{array}\right)=0 \)
(1) \( \varphi_{1}+\varphi_{2}=0 \)
(2) \( \varphi_{1}+2 \varphi_{2}=0 \quad \varphi_{2}=0 \rightarrow \bar{a} \)
\( 9^{\text {ig }} \)
(3) \( 2 \varphi_{1}+3 \varphi_{2}=0 \)
\( \rightarrow \) Far \( \lambda \) ungleich 2 bilden die Velctoren \( a, b \) und \( c \) ein Erzengendensystem des \( \mathbb{R}^{3}, \) da die 3 Vektoren linear unabhangig sind, wenninte Determinante ungleich Null ist. In diesem Fall handelt es sich um eine Basis des \( \mathbb{R}^{3}, \) da \( a, b \) und \( c \) ein minimales Erzengendensystem des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

Answer 1

Aloha :)

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit der minimal möglichen Anzahl von Vektoren. Um den 3-dimensionalen Raum aufzuspannen brauchst du mindestens 3 Vektoren. Wenn die vorgegebenen 3 Vektoren also ein Erzeugendensystem bilden, bilden sie insbesondere auch eine Basis.

Die Determinante der 3 Vektoren ist gleich ihrem aufgespannten 3-dimensionalen Volumen. Wenn dieses Volumen gleich null ist, liegen die 3 Vektoren in einer Ebene oder auf einer Geraden. Du musst also prüfen, für welche \(\lambda\) die Determinante der 3 Vektoren ungleich null ist.

$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2\\\lambda & 0 & 2\\1 & 2 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\\lambda& -\lambda & 2-2\lambda\\1 & 1 & 1\end{array}\right|=-\lambda-(2-2\lambda)=\lambda-2\ne0\;\Longleftrightarrow\;\lambda\ne2$$

Du hast also völlig richtig gerechnet. Für \(\lambda\ne2\) bilden die 3 Vektoren eine Basis der \(\mathbb R^3\).

Comments

Ok vielen Dank!