Aufgabe:
ich habe verschiedene Probleme bei folgenden Aufgaben:
Text erkannt:
Aufgabe 2 (Halbordnungen und lineare Ordnungen; \( 4+(1 \) Bonus \( ) \) ) Betrachten Sie die durch \( -\leq_{1}+ \) festgelegte lineare Ordnung auf \( M_{1}=\{+,-\} \) sowie das gewöhnliche KleinerGleich als \( \leq_{2} \) auf \( M_{2}=\mathbb{N} \). Gemäß Vorlesung (Folie 24) wird auf \( M=M_{1} \times M_{2} \) eine Quasiordnung \( \leq \) auf \( M \) definiert durch
$$ \left(x_{1}, x_{2}\right) \leq\left(y_{1}, y_{2}\right): \Longleftrightarrow\left(x_{1} \leq_{1} y_{1}\right) \wedge\left(x_{2} \leq_{2} y_{2}\right) $$
1. Zeigen Sie: Für das konkrete Beispiel ist \( \leq \) sogar eine Halbordnung auf \( \{+,-\} \times \mathbb{N} \). Bonus (1 Punkt): Formulieren Sie eine durch dieses Beispiel gestützte Vermutung, unter welchen Bedingungen an \( \left(M_{i}, \leq_{i}\right) \) auf \( M=M_{1} \times M_{2} \) durch die Definition in (1) eine Halbordnung gegeben wird.
2. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für die Restriktion \( \leq_{N}, \) wobei \( N=\{+,-\} \times[3] \).
3. Beschreiben Sie alle Teilmengen \( X \) von \( \mathbb{N}, \) sodass die Restriktion \( \leq_{\{+,-\} \times X} \) eine lineare Ordnung auf \( \{+,-\} \times X \) bildet.
4. Statt Bedingung (1) könnte man auch definieren (lexikographische Ordnung):
$$ \left(x_{1}, x_{2}\right) \sqsubseteq\left(y_{1}, y_{2}\right): \Longleftrightarrow\left(x_{1} \neq y_{1} \wedge x_{1} \leq_{1} y_{1}\right) \vee\left(x_{1}=y_{1} \wedge x_{2} \leq_{2} y_{2}\right) $$
Zeigen Sie, dass je zwei Elemente aus \( M=M_{1} \times M_{2} \) bzgl. \( \sqsubseteq \) miteinander vergleichbar sind, d.h. für alle \( \left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right) \in M \) gilt
$$ \left(x_{1}, x_{2}\right) \sqsubseteq\left(y_{1}, y_{2}\right) \text { oder }\left(y_{1}, y_{2}\right) \sqsubseteq\left(x_{1}, x_{2}\right) $$
Problem/Ansatz:
1. Um eine Menge zusammen mit einer Relation als Halbordnung bezeichnen zu können, müssen folgende Eigenschaften gegeben sein:
- Reflexivität:
Da bei der Kleiner-Gleich-Relation $$≤$$ stets $$x≤x$$ gilt, ist die Relation reflexiv.
- Antisymmetrie:
Da aus $$x≤y$$ und $$y≤x$$ auch $$x=y$$ folgt, ist die Relation antisymmetrisch
-Transitivität:
Da aus $$x<y$$ und $$y<z$$ auch $$x<z$$ folgt, ist die Relation transitiv.
2. Wenn $$N=\left\{+,-\right\}\times\left[3\right] => N=\left\{-3,+3\right\}$$?
Hierbei bin ich mir unsicher. Wenn nur die Elemente -3 und +3 enthalten sind, wäre das Hasse-Diagramm ja sehr bescheiden. Was heißen in diesem Kontext die eckigen Klammern bei [3]? Ich kenne die Klammern ansonsten von Intervallen.
3. Auch hier bin ich mir unsicher. Wenn $X$ so gewählt werden soll, dass $$X ≤ \left \{ +,- \right \} × X $$ gelten soll, würde ich $$X=\left\{0\right\}$$ angeben. Denn würde ich beispielsweise $$X=\left\{1\right\}$$ wählen, wäre $$\left \{ +,- \right \} × X = \left \{ +1,-1 \right \}$$, wobei -1 kleiner 1 ist.
4. Hier fehlt mir ein geeigneter Ansatz.
