Basis von V bestimmen, sodass die Strukturmatrix die Einheitsmatrix ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum V={ \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \) : a,b∈ℝ} und die Funktion q:V→R mit q(A) =Spur(A·A^t).

Geben Sie eine Basis von V an, bzgl. derer die Strukturmatrix von q die Einheitsmatrix ist.


Problem/Ansatz:

Ich weiß aus Aufgabe a, dass q quadratisch ist. In Aufgabe b mussten wir schon eine Strukturmatrix zu b1= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) und b2= \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) berechnen.

Wir sollen jetzt eine Basis V=(c1,c2) bestimmen, bei der die Strukturmatrix die Einheitsmatrix ist.

Ich habe jetzt folgendes versucht:

Ich weis, dass β(c1,c1) und β(c2,c2)=1 gelten muss, weil auf der Diagonalen der Einheitsmatrix 1en hin müssen.

β(c1,c1)= q(c1+c1)-q(c1)-q(c1)=Spur(C1C1^t+C1C1^t)-Spur(C1C1^t)-Spur(C1C1^t)=1

Das gleiche muss für β(c2,c2) auch gelten.

Außerdem muss β(c1,c2)=β(c2,c1)=0

Jetzt weiß ich allerdings nicht was ich weiter machen soll.

Answer 1

Sei $$v_1=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right),\quad v_2=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$Dann ist \(V=\mathbb{R}v_1+\mathbb{R}v_2\).

Man berechnet \(q(v_1)=q(v_2)=2\) und \(q(v_1+v_2)=4\) also

\(B_q(v_1,v_2)=\frac{1}{2}(q(v_1+v_2)-q(v_1)-q(v_2))=\frac{1}{2}(4-2-2)=0\).

Die Gram-Matrix bzgl. \(v_1,v_2\) ist daher \(diag(2,2)\).

Damit ist die gesuchte Basis \(\frac{1}{\sqrt{2}}v_1,\frac{1}{\sqrt{2}}v_2\).