Ist Mat (id) immer die Einheitsmatrix?

Question

Angenommen, \( \vec{B} \) und \( \vec{C} \) sind beliebige geordnete Basen von \( V \). Ist dann immer \( \operatorname{Mat}_{\vec{B}}^{\vec{C}}( \) id \( ) \) die Einheitsmatrix?

Hinweis: Entweder Sie beweisen die Aussage oder Sie finden einen Vektorraum \( V \) mit Basen \( \vec{B} \) und \( \vec{C} \), so dass \( \operatorname{Mat}_{\vec{B}}^{\vec{C}}(\mathrm{id}) \) nicht die Einheitsmatrix ist.

Sei V ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum.

Comments

Sobald die Basen verschieden sind ist die Aussage falsch. Die Auswahl an Gegenbeispielen ist also sehr groß. Außerdem wäre dann das Konzept einer Basiswechselmatrix extrem sinnlos.

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Kannst du ein Beispiel angeben? Ich verstehs leider auch nicht. Wie finde ich ein gegenbeispiel?

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Nimm dir irgeneinen Vektorraum, igendwelche zwei Basen und rechne die matrix aus.

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ok kann ich so anfangen: B=(0,1) und C(1,0) und den V-Raum R²  ?

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Das sind keine Basen des Vektorraums. Der Vektorraum ist e-dimensional beider deiner Basen sind ein-elementig.

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wieso e-dimensional? steh auf dem schlauch.. :(

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Ein Tippfehler, da soll offensichtlich 2 stehen.

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ok :) ich versteh trotzdem nicht warums falsch ist, ist das nicht der euklidische V-Raum und diese 2 Basen sind die standardbasen?

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Esgibt sehr viele euklidische Vektorräume und z.B. ist (0,1) ein Vektor aus dem Vektorraum. Dieser ist keine Basis, das z.B. der Vektor (1,1) nicht erzeugt wird.

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aber ich dachte in der basis wären diese beiden vektoren enthalten oder irre ich da? wie lautet denn dasnn die richtige Basis?

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Die Vektoren (0,1) und (0,1) zusammen bilden eine Basis, sprich {(0,1),(1,0)} ist eine Basis. Du brauchst aber zwei verschiedene Basen. Es gibt auch keine richtige Bais oder die Basis. Jeder Vektorraum hat sehr viele Basen, in der Regel sogar unendlich viele.

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was wäre dann eine mögliche zweite basis?