Differentialgleichung, wie kann man diese DGL Fragen rechnen?

Question

(b) 

(i) \( y^{\prime}=x-\frac{y}{x} \) und \( y(-2)=\frac{4}{3} \)
(ii) \( y^{\prime}=\frac{1+y^{2}}{x y+y x^{3}} \) und \( y(1)=-2 \)
(iii) \( y^{\prime}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x y} \) und \( y(2)=-2 \) )
(iv) \( y^{\prime}=-\frac{y^{2}+x y}{1+x^{2}} \) und \( y(0)=-2 \) war eingerahmt
(c) 
(i) \( y^{\prime}=e^{y} \sin (x) \) und \( y(0)=-1 \)
(ii) \( y^{\prime}=-\frac{4 x y}{1+x^{2}}+\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \) und \( y(1)=0 \)
(iii) \( y^{\prime}=\frac{y-x-x e^{-y / x}}{x} \) und \( y(-1)=-\ln (2) \)
(iv) \( y^{\prime}=\frac{3 y}{x}+18 x y^{1 / 3} \) und \( y(-1)=8 \)
BEN \( \mathrm{JG}: \) Die Ü-Aufgaben (Übu

Answer 1

Hallo,

die eingerahmte DGL b(iv) ist eine Bernoulli DGL.

Struktur:

y' +g(x) y= h(x) y^n

y' = -((y^2+xy)/(1+x^2))

y' =(-y^2)/(1+x^2) -(xy)/(1+x^2) | +-(xy)/(1+x^2)

y' + (xy)/(1+x^2) =(-y^2)/(1+x^2)

y' + ((x)/(1+x^2)) *y =(-1)/(1+x^2) *y^2 ->hat jetzt die geforderte Struktur

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n=2

z=1/y ;  (z=y/y^n)

y=1/z ;(y=z^(1/(1-n)))

y'=(-1)/z^2 *z' ; y'= 1/(1-n) *z^((n/(1-n))) *z'

->in die DGL eingesetzt:

z' - (x/(1+x^2)) *z =1/(1+x^2)

weiter mit Variation der Konstanten, dann resubstuieren

Lösung:

\( y(x)=\frac{1}{c_{1} \sqrt{x^{2}+1}+x} \)

zum Schluß noch die AWB einsetzen: y(0)=-2

\( y(x)=-\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}-2 x} \)

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vielen Dank :)