Polynom dritten Grades erstellen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie ein Polynom dritten Grades, welches die x-Achse bei 3 und die y-Achse bei -6 schneidet und bei x=1 und x=-1 Extremstellen hat

Problem/Ansatz:

Also bisher hab ich die allgemeine Form genommen und die Ableitungen gebildet. Aber wie ich jetzt weiter machen soll weiss ich nicht?:()

Answer 1

welches die x-Achse bei 3 ... schneidet

f(3) = 0

welches die ... y-Achse bei -6 schneidet

f(0) = -6

und bei x=1 und x=-1 Extremstellen hat

f'(1) = 0

f'(-1) = 0

Comments

Und wie komme ich jetzt darauf ? Könntest mir des erklären?

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welches die x-Achse bei 3 ... schneidet

Punkte auf der x-Achse haben 0 als y-Koordinate.

In der Gleichung

          f(x) = ax³ + bx² + cx + d

ersetzt man also f(x) durch 0 und x durch 3.

welches die ... y-Achse bei -6 schneidet

Punkte auf der y-Achse haben 0 als x-Koordinate.

In der Gleichung

        f(x) = ax³ + bx² + cx + d

ersetzt man also f(x) durch -6 und x durch 0.

und bei x=1 ... Extremstellen hat

An Extremstellen ist die Ableitung 0.

In der Gleichung

        f'(x) = 3ax² + 2bx + c

ersetzt man also f'(x) durch 0 und x durch 1.

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Ah okay dankeschön

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Ahm hab es doch noch nicht ganz verstanden:( , hast noch ne ausführlichere Erklärung?

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Welcher Schritt ist dir unklar?

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Also des einsetzen ist ja klar, aber wie komm ich dann sozusagen auf des Ergebnis was ich brauch, ich bekomm ja dann weitere Gleichungen, und dann muss ich ja ein Polynom dritten grades machen

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Löse das Gleichungssystem.

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aus "schneidet die y-Achse bei -6" folgt d = -6

Dann hast du noch drei Gleichungen

1. f(3) = 0 ⇒ 27a + 9b + 3c = 6

Extrema bei 1 und -1

2. f'(1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0

3. f'(-1) = 0 ⇒ 3a -2b + c = 0

Wenn du 2. und 3. addierst ⇒ b = 0

Wenn du dann z.B. rechnest 2. - 3. ergibt sich 6a + 2c = 0 ⇒ c = -3a

Das setzt du für c in die 1. Gleichung ein (b ist ja weg) und löst nach a auf.

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Okay dankeschön

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Ahm also wie ich auf b komm ist mir klar jetzt , nur auf c nicht des ergebnis 6a+2c hab ich auch raus aber wieso ist jetzt c=-3a?

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\(6a+2c=0\quad |-6a\\2c=-6a\quad |:2\\\\c=-3a\)

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Achso stimmt

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Dann ist mein Polynom jetzt f(x)= 1/3x^3-3ax-6 kann das stimmen?

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Fast, du musst jetzt noch in die Gleichung

c = -3a dein Ergebnis für a = 1/3 einsetzen, um c zu bekommen.

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Ahm okay das wäre dann 1 das heist. 1/3x^3+x-6

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c = -1

also \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x-6\)