1)$$a_n = 1 + n + ln(n)$$
Bei der Frage, ob eine Folge \(a_n\) gegen \(a \)konvergiert, geht es darum, ob ich zu jedem nochso kleinem \(ε >0\) ein \(n∈ℕ\)finden kann, so dass für alle \(N∈ℕ\) \( N>n\) gilt: \( |a_N-a|<ε\)
Dies ist hier nicht der Fall, denn diese Folge wächst über alle Grenzen.
2)
$$b_n = 3n/n+1$$
Dies ist einfach, denn
$$b_n =3+1=4$$
Diese Folge ist konstant und konvergiert gegen 4, doch vermutlich war das so nicht gemeint, sondern so.
$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3n}{n+1}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{1+1/n}→3$$
3)
$$c_n = 1 / n^2 + 1$$
Nun stellt sich wieder die Frage, was gemeint ist. So wie es da steht, bedeutet es
$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}+1= →1$$
Doch es könnte auch gemeint sein.
$$c_n = 1 / (n^2 + 1)$$
$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^2+1} →0$$
Falls aber mit ε argumentiert werden soll, dann wähle n=1/ε, dann sollte es passen.