maximalen reellen Definitionsbereich bestimmen

Question

Aufgabe:

f(x) = cos((3x))^((sqrt(x) + (1/sqrt(x)) + (2* \( \sqrt[5]{x} \) ))

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen sind:$$\mathbb D(\cos x)=\mathbb R$$$$\mathbb D(\sqrt x)=\mathbb R^{\ge0}$$$$\mathbb D(\sqrt[5]{x})=\mathbb R^{\ge0}$$

Das ergibt folgende Einschränkungen für \(x\):

1) Der Term \(\sqrt[5]{x}\) fordert, dass \(x\ge0\) ist.

2) Der Term \(\sqrt{x}\) fordert, dass \(x\ge0\) ist.

3) Der Term \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) fordert, dass \(x\ne0\) ist, weil wir nicht durch \(0\) dividieren können.

Zusammengefasst muss also \(x>0\) gelten.

$$\mathbb D=\mathbb R^{>0}$$Hinweis: Es gibt noch einen Haken. Wenn \(\cos(3x)=0\) ist, muss der Exponent \(>0\) sein, denn \(0^0\) oder \(0^{\text{negative Zahl}}\) ist nicht definiert. Da aber oben schon gefordert wurde, dass \(x>0\) sein muss, ist das automatisch mit erledigt.

Answer 2

Ich sehe nur das Problem, dass sqrt(x) für negative x nicht

definiert ist. Außerdem steht es einmal im nenner,

darf also nicht 0 sein. Somit ist

der Defbereich: Alle x mit x>0.

Answer 3

Da 1/√x für ℝ⁺ definiert ist, ist die ganze Funktion nur für ℝ⁺ definiert.