Zahlenfolgen konvergieren, Prinzip

Question

Aufgabe:

Zahlenfolgen, konvergieren sie die Zahlenfolgen mit den folgenden Bildungsgesetzen:

1) a_n = 1 + n + ln(n)

2)b_n = 3n/n+1

3) c_n = 1 / n² + 1

Problem/Ansatz:

wieso ist 1) nocht auch konvergent? Es geht ja auch ins unendliche?

bei 2) und 3) ist es ja konvergent, aber wie erkenne ich bei 3) das es nach unten beschränkt ist und streng monoton fallend?

Comments

Wer behauptet, dass sie konvergiert?

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Achso es divergiert doch oder?

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So ist es. :)

Answer 1

a_n ist nicht konvergent.

b_n konvergiert gegen 3.

c_n konvergiert gegen 1, weil 1/n² gegen 0 geht.

Answer 2

1)$$a_n = 1 + n + ln(n)$$

Bei der Frage, ob eine Folge \(a_n\) gegen \(a \)konvergiert, geht es darum, ob ich zu jedem nochso kleinem \(ε >0\) ein \(n∈ℕ\)finden kann, so dass für alle \(N∈ℕ\)  \( N>n\) gilt: \( |a_N-a|<ε\)

Dies ist hier nicht der Fall, denn diese Folge wächst über alle Grenzen.

2)

$$b_n = 3n/n+1$$

Dies ist einfach, denn

$$b_n =3+1=4$$

Diese Folge ist konstant und konvergiert gegen 4, doch vermutlich war das so nicht gemeint, sondern so.

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3n}{n+1}=  \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{1+1/n}→3$$ 

3)

$$c_n = 1 / n^2 + 1$$

Nun stellt sich wieder die Frage, was gemeint ist. So wie es da steht, bedeutet es

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}+1= →1$$

Doch es könnte auch gemeint sein.

$$c_n = 1 / (n^2 + 1)$$

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^2+1} →0$$

Falls aber mit ε argumentiert werden soll, dann wähle n=1/ε, dann sollte es passen.