Bestimme hierfür die explizite Gleichung und die rekursive

Question

Aufgabe=

Ein stand voller Bakterien vermehrt sich aller vier Tage um das 10fache.Nach fünf Tagen sind 5335 vorhanden.

Bestimme hierfür die explizite Gleichung und die rekursive

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht ganz wie ich daran die Gleichungen bilde, danke schonmal im Voraus

Comments

steht da "um" das 10 fache oder "auf" das Zehnfache? Und was ist die Frage? Wiviel am Anfang? oder wieviel nach ?? Tagen.

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um das 10 fache

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mehr Informationen habe ich nicht

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Nur eine kleine sprachliche Bemerkung für alle, die hier mitrechnen wollen:

Wenn eine Population von anfänglich  100%  sich um das 10-fache vermehrt, so liegen am Ende  1100% des Anfangsbestandes vor - und nicht etwa 1000% , wie manche möglicherweise denken. Meine leise Befürchtung ist die, dass auch der Autor der Aufgabenstellung das missachtet haben könnte ...

Answer 1

Also wenn wir davon ausgehen, dass es heißen muss in der Aufgabe auf das Zehnfache ergeben sich folgende Gleichungen:

N(5) = a*\( c^{5} \) =5335

und

N(4) = 10a = a*\( c^{4} \)

Aufgelöst ergeben sich: c=\( 10^{1/4} \)  und a=300

Also ist N(t) = 300 * \( 10^{1/4*t} \)

Wenn sich die Bakterien um das Zehnfache vermehren sollen, ergibt sich folgende kleine Änderung:

N(4) = 11 a

Dann sind c= \( 11^{1/4} \)  und a=266

Also ist N(t) = 266 * \( 11^{1/4*t} \)

Answer 2

N(t) = No * 11^(t/4)   wenn t die Anzahl der Tage und No der Anfangswert ist.

==>  5335 = No * 11^(5/4)

==>  5335 = No * 20,03

==>  266= No

Am Anfang waren es 266.

rekursiv:   266 = N(0) und N(t+1) = N(t)*1,82

Comments

okay vielen dank!

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Das ist aber nur eine Zunahme von 10% und entspricht nicht dem zehnfahen!

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Oha, da hatte ich nicht richtig gelesen.

Versuche das mal zu korrigieren.

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ich danke Ihnen allen die mir helfen!

Answer 3

Da kann man den Ansatz  A(t) = A₀ · c^t  verwenden.

Die Angabe zur Vermehrungs-Geschwindigkeit kann man durch die Gleichung

A(4) = A₀ · c⁴ = 11 A₀

ausdrücken. Daraus ergibt sich der Wert  c = \( \sqrt[4]{11} \) ≈ 1.82116

Auch der Anfangsbestand  A₀  lässt sich dann leicht berechnen. Ich kam auf den Wert 266.

Es ist natürlich zu beachten, dass man bei einer solchen Berechnung keine absolut exakten Ergebnisse (auf einzelne Bakterien genau) erwarten darf.

Und: Mittlerweile bin ich mir zu 100% sicher, dass der Autor der Aufgabe den Unterschied zwischen  "Vermehrung um das 10-fache" und "Vermehrung auf das 10-fache" offensichtlich nicht wirklich beherzigt !