Differentialgleichung der 3. Ordnung berechnen

Question

Aufgabe:

Wählen Sie die Parameter \( k_{1}, k_{0} \in \mathbb{R} \) so, dass die Differentialgleichung

$$ y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+k_{1} y^{\prime}+k_{0} y=0 $$
eine Lösung der Form \( y=x^{2} e^{\lambda x} \) hat für ein geeignetes \( \lambda \).

Wie löse ich das am besten?

Die gesuchten Parameter sind:
\( k_{1}= \)
12
\( k_{0}= \)
8
Das \( \lambda \) in der Lösungsfunktion \( y=x^{2} e^{\lambda x} \) ist
\( \lambda= \)
-2

Answer 1

Hallo

du differenzierst  y=x^2*e^λx 3 mal und setzest es ein, dann e^λx ausklammern und die Klammer =0 die ist nur für alle x 0 wenn die Faktoren von x^2, x^1 undx^0 alle 0 sind.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

y= x^2 *e^(λx)λλ

y'= x(λx+2) e^(λx)

y''= (λ^2 x^2 +4λx +2) e^(λx)

y'''=(λ^3 x^2 +6λ^2 x +6λ) e^(λx)

->in die DGL einsetzen, Koeffizientenvergleich

x^2:   λ^3 +6 λ^2 +k₁ λ +k₀=0

x^1:   6 λ^2 +24 λ +2k₁=0

x^0:  6λ +12= 0 -------->λ =-2

k₁= 12

k₀=8