Beweis Körpererweiterung

Question

Aufgabe:

Es sei L/K eine endliche Körpererweiterung mit [L : K] = n. Weiter seien a ∈ L
und Min K(a) das Minimalpolynom von a über K mit Grad(MinK(a)) = d. Man
beweise: Dann gilt d|n und es ist L = K(a) genau dann, wenn d = n ist.

Kann mir hier jemand helfen?

Answer 1

Der Grad \([K(a):K]\) ist bekanntermaßen gleich dem Grad des

Minimalpolnoms \(Min_K(a)\), also \([K(a):K]=d=Grad(Min_K(a)\).

Die "Körperturmgleichung" für \(K\subseteq K(a)\subseteq L\) ist

\(n=[L:K]=[L:K(a)]\cdot [K(a):K]=[L:K(a)]\cdot d\),

somit \(d\; | \; n\).

Ist nun \(L=K(a)\) so folgt sofort \(n=d\).

Ist andererseits \(n=d\), so ist \(K(a)\) ein \(K\)-Untervektorraum von \(L\)

mit derselben Dimension wie \(L\). Daher sind die Räume gleich.