Gegeben ist das Gleichungssystem über R

Question

In den Vorlesungen hatten wir soweit das Gauß'sche Eliminationsverfahren sowie das Gauß-Jordan-Verfahren. Ich hab jetzt schon in mehreren Anläufen versucht das ganze irgendwie anzuwenden, komme aber absolut nicht auf eine Endform.

Aufgabe:

$$ \begin{array}{r} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda^{2} \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=\lambda \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=1 \end{array} $$

1. Für welche Werte \( \lambda \in \mathbb{R} \) existieren keine Lösungen?

2. Für welche Werte \( \lambda \in \mathbb{R} \) existieren unendlich viele Lösungen?

3. Für welche Werte \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?

4. Berechnen Sie die Lösung fúir \( \lambda=-1 \) und \( \lambda=0 \).

Meine Idee war bisher zu Versuchen, die Matrix in der 3. Zeile irgendwie auf 0 0 L zu bekommen (Gauß'sches Eliminationsverfahren), aber da scheitert es bereits. Hätte ich das, könnte man ja 1-3 relativ einfach ablesen.

Comments

Warum hast du nicht mit Aufgabe 4 angefangen, da ist es konkret.

Answer 1

Ich schreibe mal statt Lambda ein k

und tausche 1. und 3. Zeile, dann ist es (ohne die x'e)

1   1    k   1
1   k   1    k
k  1    1    k^2

Dann 1. Zeile mal von der 3. abziehen

1   1       k           1
1    k     1            k
0  1-k  1-k^2     k^2-k

Dann 2. Zeile minus erste

1  1      k           1
0   k-1   1-k     k-1
0  1-k 1-k^2    k^2-k

Dann 3. Zeile plus zweite

1  1         k           1
0  k-1    1-k         k-1
0   0    2-k-k^2    k^2-1

Jetzt hast du Stufenform.

Bedenke 2-k-k^2 = 0 <=> k=-2 oder k=1.