Eine Funktion 4. Grades besitzt an der Stelle \(x=0\) einen Extrempunkt und an der Stelle \(x=-1\) einen Sattelpunkt. Außerdem besitzt der Graph eine Funktion an der Stelle \(x=-2\) eine Tangente mit der Gleichung \(y= -24x-47\)
...an der Stelle \(x=-1\) einen Sattelpunkt:
Wenn der Sattelpunkt auf der x-Achse liegt ist dort eine Dreifachnullstelle( bedeutet, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt und dass der Graph die x-Achse schneidet). Angebracht ist nun die Nullstellenform:
\(f(x)=a[( x+1)^3(x-N)]+c\)
c ist deshalb nötig, weil der y-Wert des Sattelpunktes nicht bekannt ist
...an der Stelle \(x=-2\) ist eine Tangente mit der Gleichung \(y= -24x-47\)
\(y(-2)= -24\cdot (-2)-47=1\) → Berührpunkt B\((-2|1)\)
Verwendung der Tangentensteigung:
\(f'(x)=a[3( x+1)^2(x-N)+( x+1)^3]\)
\(f'(-2)=a[3( -2+1)^2(-2-N)+( -2+1)^3]=a[-7-3N]=-24\)
\(a=\frac{24}{7+3N}\)
\(f'(x)=\frac{24}{7+3N}[3\cdot( x+1)^2(x-N)+( x+1)^3]\)
...an der Stelle \(x=0\) einen Extrempunkt:
\(f'(0)=\frac{24}{7+3N}[3\cdot( 0+1)^2(0-N)+( 0+1)^3]\)
\(f'(0)=\frac{24}{7+3N}[-3N+1]=0\)
\(N=\frac{1}{3}\)
\(a=\frac{24}{8}=3\)
\(f(x)=3[( x+1)^3(x-\frac{1}{3})]+c\)
Der Berührpunkt liegt bei B\((-2|1)\)
\(f(-2)=3( -2+1)^3(-2-\frac{1}{3})+c=1\)
\(c=-6\)
\(f(x)=3( x+1)^3(x-\frac{1}{3})-6\)
