y' +((1/x) +1)y=1/x ,y(1)=0

Question

Aufgabe:

Man ermittle die Lösung des Anfangswertproblems.

$$y'+(\frac{1}{x}+1)y=\frac{1}{x}, x>0, y(1)=0$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier wirklich nicht was ich genau tun soll..

Könnte mir hierbei bitte jemanden helfen?

Answer 1

Hallo,

y' +((1/x) +1)y=1/x ,y(1)=0

Lösung via " Variation der Konstanten"

1) homogene Gleichung:

y' +((1/x) +1)y=0 ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx= -((1/x) +1)y

dy/y= -((1/x) +1) dx

usw.

yh= C₁ * e^(-x)/x

2) C1=C(x)

yp=C(x) * e^(-x)/x->Produktregel

yp'= C'(x) * e^(-x)/x -C(x) * (-e^(-x)(x+1))/x^2

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(x) muß sich herauskürzen

C'(x) *e^(-x)/x= 1/x

C'(x) = e^x

C(x)= e^x

4)

yp=C(x) * e^(-x)/x

yp=e^x* e^(-x)/x =1/x

5)y= yh+yp

Lösung:

\( y(x)=\frac{c_{1} e^{-x}}{x}+\frac{1}{x} \)

6)AWB einsetzen y(1)=0

\( y(x)=\frac{1-e^{1-x}}{x} \)