Wert der Reihe ((n+1)/n)^n - (n/(n-1))^(n-1) berechnen

Question

Ich soll den Wert dieser Reihe berechnen

\( \sum\limits_{n=2}^{\infty} \)  \( (\frac{n+1}{n})^{n} \) - \( (\frac{n}{n-1})^{n-1} \)

Das einzige was mir hier einfällt wäre dass ich das \( (\frac{n}{n-1})^{n-1} \) als \( (\frac{n}{n-1})^{n} \) · \( (\frac{n}{n-1})^{-1} \)

schreiben kann aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter.

Comments

Ohja habs korrigiert, danke für den Hinweis :)

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Gut. Habe meinen Kommentar ausgeblendet. Kannst du das auch?

Answer 1

Aloha :)

$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=2}^N\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n-\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\right)=\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{n+1}{n}\right)^n-\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{n+1}{n}\right)^n-\sum\limits_{n=1}^{N-1}\left(\frac{(n+1)}{(n+1)-1}\right)^{(n+1)-1}=\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{n+1}{n}\right)^n-\sum\limits_{n=1}^{N-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$$$$\phantom{S_N}=\left(\left(\frac{N+1}{N}\right)^N+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n+\left(\frac{1+1}{1}\right)^1\right)$$$$\phantom{S_N}=\left(\frac{N+1}{N}\right)^N-2=\left(1+\frac{1}{N}\right)^N-2$$

Im Grenzübergang \(N\to\infty\) erkennen wir \(e\) wieder:$$S_{\infty}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{N}\right)^N-2\right)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1+\frac{1}{N}\right)^N-2=e-2$$

Comments

Das habe ich sogar verstanden haha

Vielen Dank! :)

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Danke für die Rückmeldung, das freut mich. Manchmal bin ich mir nicht sicher, ob ich das verständlich genug beschreibe. Daher bin ich immer dankbar für Feedback ;)

Answer 2

(n+1)/n = n+1/n

(1+1/n)^n

n/(n-1) = (n-1+1)/(n-1) = 1+1/(n-1)

(1+1/(n-1))^(n-1) 

Comments

Hallo,

meinst du im ersten Teil \( \frac{n+1}{n} \) = n+\( \frac{1}{n} \) ?

Wenn dann verstehe ich nicht wieso das so ist :/