Welche Aussagen können über den Wert der Reihe getroffen werden?

Question

Aufgabe:
Untersuche die Reihe auf Konvergenz. Welche Aussagen können über den Wert der Reihe getroffen werden?

s_n= \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{n+4}{n^2-3n+1}} \)

Problem/Ansatz:

Ich denke die Reihe ähnelt der harmonischen Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) im Unendlichen, wenn man die höchsten Exponenten des Zählers und des Nenners betrachtet.

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n}{n^2}} \). Deshalb sollte die Reihe divergieren und ich versuche mit dem Minorantenkriterium mich zu \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) vorzuarbeiten. Ich will also eine Reihe finden, die definitiv immer kleiner/gleich der ursprünglichen ist, bis ich bei \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) lande. Ich komme bis zu der Reihe. \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n}{n^2+1}} \). Aber diese ist kleiner als \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{1}{n}} \). Divergiert die Reihe vlt. gar nicht oder wie macht man das ?

Answer 1

Mache eine doppelte Abschätzung.

Verkleinere den Bruch, indem du den Nenner n²-3n+1 auf n²-3n+1+5n=n²+2n+1=(n+1)² vergrößerst.

Verkleinere ihn nochmals, indem du den Zähler n+4 auf n+1 verringerst.

Dieser verkleinerte Bruch hat den Wert 1/(n+1).

Comments

Ok wow Danke.
Da muss man erstmal drauf kommen 0.o

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Sehr schön erklärt!