Wert einer Reihe bestimmen [1/n(n-2)]

Question

Aufgabe:

Man bestimme den Wert der Reihe $$ \sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-2)} $$.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war, das ganze zu vereinfachen, in dem ich sage:

$$ \sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-2)} = \frac{1}{2} \cdot \sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} $$

Doch von da komme ich nicht weiter.

Answer 1

Sagt dir das Stichwort "Teleskopsumme" etwas?

Comments

Der Tipp war Gold wert! Damit komm ich auf 5/6 , bzw. dann 5/12.
Wie schreibe ich das mit der Teleskopformel sauber auf (Uni)?

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Hier sollte eine Indexverschiebung helfen:

\( \sum \limits_{n=4}^{\infty}( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}) \)=\( \sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n-2} -\)\( \sum \limits_{n=4}^{\infty}  \frac{1}{n} \)=\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} -\)\( \sum \limits_{n=4}^{\infty}  \frac{1}{n} \)=\( (\sum \limits_{n=2}^{3} \frac{1}{n} +\sum \limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n})-\)\( \sum \limits_{n=4}^{\infty}  \frac{1}{n} \)

=\( \sum \limits_{n=2}^{3} \frac{1}{n}\)