Grenzwert bestimmen (falls einer existiert)

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen sie diese gegebenenfalls.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Leider komme ich mit dem ganzen Thema Grenzwerte usw noch nicht so ganz klar und daher auch nicht mit der Aufgabe.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Text erkannt:

Aufgabe 2 (8 Punkte). Untersuchen Sie, ob die folgenden (eventuell uneigentlichen) Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:
(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}+2 x-4}{x-1} \)
(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{\sin (x)}{x} \),
(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|}, \)
(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1} n \in \mathbb{N} \).

Answer 1

Aloha :)

Bei der a) kannst du Zähler und Nenner kürzen:$$\lim\limits_{x\to1}\frac{2x^2+2x-4}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{2(x^2+x-2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{2(x+2)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{2(x+2)}{1}=6$$

Bei der b) sind der links- und der rechtseitige Grenzwert unterschiedlich:$$\frac{x}{|x|}=\left\{\begin{array}{rcl}1 & \text{falls} & x>0\\\text{n.d.} & \text{falls} & x=0\\-1 & \text{falls} & x<0\end{array}\right.\quad\implies\quad\lim\limits_{x\nearrow0}=-1\;;\;\lim\limits_{x\searrow0}=1\quad\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{|x|}=\text{nicht definiert}$$

Wegen der Symmetrie des Sinus \(\sin(-x)=-\sin x\) gilt bei c):$$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin(-x)}{(-x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\sin x}{-x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$$Für \(x>0\) gilt:$$-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}\implies\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\implies0\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\le0$$Also haben wir gefunden:$$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$$

Bei der d) hilft die Krankenhaus-Regel (L'Hospital):$$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(\,x^n-1\,)'}{(\,x-1\,)'}=\lim\limits_{x\to1}\frac{nx^{n-1}}{1}=\frac{n\cdot1^{n-1}}{1}=n$$

Answer 2

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}+2 x-4}{x-1} \)

Polynomdivision gibt für den Bruch  2x+4 also

Grenzwert für x gegen 1  ist 6

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{\sin (x)}{x} \),

sin(x) / x =  sin(x) *  1/x

Der zweite Faktor geht gegen 0, der 1. ist beschränkt.
Also Grenzwert 0.

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|}, \)

Für x>0 ist es konstant = 1 und für x<0 konstant =-1.

Also existiert kein Grenzwert für x gegen 0.

(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n}-1}{x-1} n \in \mathbb{N} \).

(x^n - 1) / (x-1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x^2 + x + 1

Für x gegen 1 geht das gegen n , weil es Summanden mit GW 1 sind.