Question

Aufgabe: Ist duch folgende Ausdrücke ein Skalarprodukt auf V=ℝ² gegeben?

(1) ⟨x,y⟩ = x₁y₁

(2) ⟨x,y⟩ = x₁y₁ - 2x₁y₂ - 2x₂y₁ + 5x₂y₂

Problem/Ansatz:

ich weiß schon das man für diese Aufgabe die Ausdrücke auf Symmetrie, Bilinearität und positive Definitheit untersuchen muss. Sei Symmetrie habe ich für (1) symmetrisch raus und für (2) nicht symmetrisch. Ich weiß nicht ob ich richtig liege, aber dann müsste ich bei (2) ja eigentlich nicht weiterrechnen, wenn die Symmetrie schon entfällt.

Könnte mir jemand bei den anderen beiden Kriterien helfen?

LG Blackwolf

Comments

Bist du hier weitergekommen ? Irgnedwie komme ich bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter

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Hallo, ja ich würde die Aufgabe als gelöst bezeichnen, weiß aber nicht ob es ob alles richtig ist.

Wobei genau scheitert du denn?

(1) oder (2)

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Bin noch bei dem ersten und nichtmal da komme ich weiter :/

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(1) symmetrie: ⟨x,y⟩ = x_1·y₁ = y_1·x₁ =⟨y,x⟩    somit ist der Ausdruck symmetrisch

     positiv definit: ⟨x,x⟩ = x₁·x₁ ≥ 0

                                            x₁² ≥ 0   Ι wurzel ziehen

                                            x₁ ≥ 0

                       ⟨x,x⟩ = 0 ; x = 0  → ⟨x,x⟩ = 0·0 = 0      da beide Voraussetzungen für die

                                                                                  positive Definitheit erfüllt sind, ist es

                                                                                  positiv definit

linear im 2. Argument: ⟨x,y₁+y₂) = x₁·(y₁+y₂) = x₁y₁+x₁y₂ = ⟨x,y₁⟩ +⟨x,y₂⟩

                            α∈ℝ   ⟨x,αy⟩ = x₁·αy₁ = α(x₁+y₁) = α·⟨x,y⟩   

                                    wieder stimmen beide voraussetzungen und der Ausdruck

                                    ist im 2. Argument linear

→ Da alle Kriterien für ein Skalarprodukt erfüllt sind ist (1) ein Skalarprodukt.

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(2) symmetrie: ⟨x,y⟩ = x₁y₁ - 2x₁y₂ - 2x₂y₁ + 5x₂y₂

                                  = y₁x₁ - 2y₂x₁ -2y₁x₂ + 5y₂x₂   ≠ ⟨y,x⟩    somit nicht symmetrisch

                                                                                                → kein Skalarprodukt

Ich hoffe das ist richtig und sag bescheid falls du Fragen dazu hast.

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Leider sind die Aussagen fast alle falsch! Siehe meine Antwort.