wie komme ich der Aufgabe 2x^3y'=y^2 mittels Trennung der Variablen zum richtigen ergebnis?

Question

Aufgabe: Trennung der Variablen 2x^3y'=y^2

Problem/Ansatz:

wie komme ich der Aufgabe 2x^3y'=y^2 mittels Trennung der Variablen zum richtigen ergebnis? ich bin bis zu dem folgenden Rechenschritt gekommen:

\( 2 x^{3} y^{\prime}=y^{2} \)
\( y^{\prime}=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot y^{2} \)
\( \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot y^{2} \quad 1: y^{2} \cdot d x \)
\( \frac{1}{y^{2}} \cdot d y=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot d x \)
\( \int \frac{1}{y^{2}} d y=\frac{1}{2} \int x^{-3} \cdot d x \)
\( -y^{-1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{2}+c \)
\( -y^{-1}=\frac{x^{-2}}{-4}+c \)

Text erkannt:

\( 2 x^{3} y^{\prime}=y^{2} \)
\( y^{\prime}=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot y^{2} \)
\( \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot y^{2} \quad 1: y^{2} \cdot d x \)
\( \frac{1}{y^{2}} \cdot d y=\frac{1}{2 x^{3}} \cdot d x \)
\( \int \frac{1}{y^{2}} d y=\frac{1}{2} \int x^{-3} \cdot d x \)
\( -y^{-1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{2}+c \)
\( -y^{-1}=\frac{x^{-2}}{-4}+c \)
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Answer 1

Hi,

das sieht soweit gut aus. Ich schreibe das nochmals ohne negativen Exponenten hin. Vielleicht wird es dann klarer:

\(-\frac1y = -\frac{1}{4x^2} + c \)

Das Vorzeichen kann man überall drehen:

\(\frac1y = \frac{1}{4x^2} - c \)

Nun brauchen wir doch nun den Kehrwert zu bilden und wir haben y wie wir es wollen. Dafür bringen wir rechts noch alles auf einen Nenner:

\(\frac 1y = \frac{1-4x^2c}{4x^2}\)

\(y = \frac{4x^2}{1-4x^2c}\)

Um es schöner zu schreiben, kann man die -4 in das c mit reinverbasteln und wir haben:

\(y = \frac{4x^2}{1+x^2d}\)

Grüße