Question

Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz 3x² - 2x + 9 ≡ 0 mod 35:

Ansatz:

3x² - 2x + 9 ≡ 0 mod 35 | *3

9x²-6x+27 ≡ 0 mod 35 | -26

(3x-1)² ≡ -26 mod 35

-26 + 35 = 9 = 3²

(3x-1)² ≡ -26 mod 35

⇔

(3x-1)² ≡ 3² mod 35 | -3²

⇔

(3x-1-3)*(3x-1+3) ≡ 0 mod 35

⇔

☼ 3x - 4 ≡ 0 mod 35 ∨ ♪ 3x + 2 ≡ 0 mod 35

zu ☼) 3x - 4 ≡ 0 mod 35 ⇒ 3x ≡ 4 mod 35 ⇒ 3x ≡ 39 mod 35 ⇒ ( da ggT(3,35) = 1) x ≡ 13 mod 35

zu ♪) 3x + 2 ≡ 0 mod 35 ⇒ 3x ≡ -2 mod 35 ⇒ 3x ≡ 33 mod 35 ⇒ ( da ggT(3,35) =1) x ≡ 11 mod 35

Also x = 13 oder x = 11.

Ist das so richtig?

Answer 1

x=6+35k für k∈ℤ,

x=11+35k für k∈ℤ,

x=13+35k für k∈ℤ,

x=18+35k für k∈ℤ,

Comments

Zugegeben, ich musste etwas überlegen, bis ich den Grund für die Diskrepanz zwischen der vorgestellten Lösung und Rolands Ergebnis (welches er entweder dank seiner Genialität oder nicht zitierter Hilfsmittel richtig hat) erkannt habe.

(3x-1)² ≡ 3² mod 35 

ist zunächst mal richtig.

Da allerdings auch (-3)² ≡ 3² mod 35 gilt, hätte man auch die Variante
(3x-1)² ≡ (-3)² mod 35 betrachten müssen. Da kommen die übrigen Lösungen her.

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Es geht auch mit Fleiß, Rolands Lösungen kommen nicht von den negativen Möglichkeiten, siehe dazu meine Antwort.

Answer 2

$$x∈ ( 6; 11; 13; 18)\space mod \space35$$

Dank an MatHaeMatician

https://www.mathelounge.de/799006/105-m-26-n-2-m-n-element-n

$$3x^2 - 2x + 9 ≡ 0 \space mod \space 35$$$$3x^2 - 2x + 9 =k*35$$$$9x^2 - 6x + 27 =k*105$$$$9x^2 - 6x +1 =k*105-26$$$$(3x-1)^2 =k*105-26$$$$k∈(3;10;14;27)$$$$x∈ ( 6; 11; 13; 18)\space mod \space35$$

$$(3x+1)^2 =k*105-26$$$$k∈(26;43;51;74)$$$$x∈ (-17; -22;-24;-29)$$

Comments

$$(3x-1)^2 =k*105-26$$

$$k∈(3;10;14;27)$$

So wie du das schreibst fallen die Möglichkeiten in der zweiten Zeile irgendwie vom Himmel.

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Sowohl bei

$$(3x-1)^2 =k*105-26$$$$k∈(3;10;14;27)$$$$x∈ ( 6; 11; 13; 18)$$

als auch bei

$$(3x+1)^2 =k*105-26$$$$k∈(26;43;51;74)$$$$x∈ (-17; -22;-24;-29)$$

sind die Zahlen nicht vom Himmel gefallen. " Gott gab die Zahl, alles andere ist Menschenwerk."  Diese Zahlen erfüllen die Bedingung , also dürfen sie nicht unter den Tisch fallen.

.Gesucht werden doch alle $k$, so dass $k*3*5*7-26$ eine Quadratzahl ist, deren Nachbar durch 3 teilbar ist.

Gast 2345 hat ein Verfahren vorgestellt, nachdem \(x=11\ ) und

\(x=13\ ) als Lösung der Gleichung gefunden wurde. Ich habe nur 6 weitere Lösungen hinzugefügt.

Die Zahlen hatte ich auf dem Rand einer Zeitung notiert, es kann gut sein, dass ich mich da mal verrechnet habe.

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@abakus

Ich gebe hier mal meine Gedanken wieder. Es ist eine kleine Einmaleins- und Kopfrechnen-Übung.

$$3*105-26=289=17^2$$$$k=3$$$$7*105=15*49=32^2-17^2$$$$k=10 ; x=6$$$$4*105=6*70=38^2-32^2$$$$k=14; x=11$$$$12*105=14*90=52^2-38^2$$$$k=26; x=-17$$$$1*105=1*105=53^2-52^2$$$$k=27; x=18$$$$16*105=14*120= 67^2-53^2$$$$k=43; x=-23$$$$8*105=6*140=73^2-67^2$$$$k=51; x=-24$$$$23*105=15*161=88^2-73^2$$$$k=74; x=-29$$

Ich habe also zuerst die Quadratzahlen gesucht und das Ergebnis zugeordnet, wobei ich festgestellt habe, dass es auch negative Lösungen geben muss.

Ich denke, dass es einfach ist, zu kontrollieren, ob die von mir gefundenen Werte die Anforderung erfüllen. Was allerdings fehlt, ist der Nachweis, dass es auch alle Lösungen sind. Die Symmetrie deutet mir an, dass es alle Lösungen sind, doch ob das als Beweis ausreicht bezweifel ich selbst.

Gruß, Hogar

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Dank MatHaeMatcian konnte ich die Antwort erweitern.