Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) als Funktion der Zeit für die Anfangswerte v(0) = 0 und s(0) …

Question

Aufgabe:

Die Beschleunigung eines Massenpunktes in Abhängigkeit von der Zeit genüge der Gleichung a(t) = a0(1−e−t) mit a0 > 0, t ≥ 0. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) als Funktion der Zeit für die Anfangswerte v(0) = 0 und s(0) = 0.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe noch nicht ganz.

In der Lösung steht:

Durch den Anfangswert v(0) = 0 berechnet sich C1 = −1. Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion lautet somit v(t)=a0(t+e−t −1), t≥0.

Woher kommen jetzt aber plötzlich diese -1?

Die Integralrechnung ist mir dann klar, aber woher kommt diese minus eins? :(

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Bei der Integration der Funktion \(a(t)\)$$a(t)=a_0(1-e^{-t})\quad\implies\quad v(t)=\int a(t)\,dt=a_0\left(t+e^{-t}\right)+\text{const}$$erhältst du die Funktion \(v(t)\) und eine Integrationskonstante. Letztere musst du so wählen, dass die vorgegebene Bedingung \(v(0)=0\) erfüllt ist:$$0\stackrel!=v(0)=a_0+\text{const}\quad\implies\quad\text{const}=-a_0$$Die Geschwindigkeit ist also:$$v(t)=a_0\left(t+e^{-t}\right)-a_0=a_0\left(t+e^{-t}-1\right)$$Das ist der Ursprung für die \(-1\).