keinen Ringhomomorphismus ϕ : K → Q gibt.

Question

Aufgabe:

. Sei K ein Körper. Wir nehmen an, es gibt ein Element

a ∈ K mit a
2 = 2 · 1K, wobei 1K das Einselement in K bezeichnet.
Zeigen Sie, dass es keinen Ringhomomorphismus ϕ : K → Q gibt.

Problem/Ansatz:

kann einer mir bitte bei dieser aufgabe helfen

ich hoffe dieses mal habe ich es verständlich geschrieben

Comments

Du schreibst, dass wir dir helfen sollen, im gleichen Atemzug klatscht du einfach die Aufgabe hin ohne zu erzählen, wo es denn hakt. Ist eine nicht ganz so gute Taktik.

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soll das heißen

a^2 = 2  · 1_K ?

Answer 1

Sei \(a\in K\) mit \(a^2=2\cdot 1_K\).

Angenommen es gäbe einen Ringhomom. \(\Phi:K\rightarrow\mathbb{Q}\).

Dann wäre

\(\Phi(a)^2=\Phi(a^2)=\Phi(1_K+1_K)=\Phi(1_K)+\Phi(1_K)=1+1=2\),

d.h. \(X^2-2\) hätte eine rationale Nullstelle ( nämlich \(\Phi(a)\) ),

was bekanntlich nicht der Fall ist.