Bestimmen Sie eine Basis des Tangentialraums TpM.

Question

Seien I ⊂ R ein offenes Intervall und f : I → R eine positive C¹-Funktion. Sei weiter M={(x,y,z)^T ∈ I × R² | y²+z²=(f(x))²}.
(a) Beweisen Sie, dass M eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R³ ist.

(b) Sei p = (x₀,y₀,z₀)^T ∈ M. Bestimmen Sie eine Basis des Tangentialraums TpM.

zu a) Ich weiß.dass ich die partielle Ableitungen bilden soll und prüfen soll, ob es ungleich 0 ist, Abern diese Funktionsvorschrift verwirrt mich ein wenig, da es eig mit x abhängig sein müsste wegen f(x),was aber nicht der Fall ist. f(x)=y deswegen kann ich für y auch f(x) einsetzen, dann hätte ich aber die Aussage, dass z=0 ist, stimmt das denn ?

zu b) das muss ich doch kern (Df(x,y,z)) bilden und gucken welche Basen ich am Ende habe und vielleicht noch die Dimension angeben, aber wie gesagt die Funktionsvorschrift verwirrt mich ein wenig.

Kann mir bitte einer weiterhelfen, ich wäre sehr dankbar dafür!!

Mit freundlichen Grüßen

Elanur

Answer 1

Hallo,

das ist ein Zylinder entlang der x-Achse, dessen Radius von einer stetig differenzierbaren Funktion über einem offenen Intervall abhängt.

Hierbei ist \(M=\{(x,y,z)^T\in I\times \mathbb{R}^2 : y^2+z^2=(f(x))^2\}\) das Urbild der Funktion \(g: \mathbb{R}^2 \to f(I), \, (y,z)\mapsto y^2+z^2\) im Punkt \(f(x)^2\). Um den Satz vom regulären Wert anzuwenden, müssen wir zeigen, dass \(f(x)^2\) für alle \(x\in I\) ein regulärer Wert ist. Dafür bestimmen wir die Menge der kritischen Punkte:$$\nabla g(y,z)=\begin{pmatrix} 2y\\2z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\Rightarrow y=z=0$$Damit ist \(g(0,0)=0^2+0^2=0\) der einzige kritische Wert. Wegen \(f(x)>0\) für alle \(x\in I\) nach Voraussetzung und damit für alle \(x\) regulär. Damit ist \(M\) eine 2-dim UMF des \(\mathbb{R}^3\).

Comments

also nach x leite ich gar nicht ab bzw. ich hab dann kein x.

Dann habe ich das verstanden super danke Dir vielmals !

Und ist denn meine Überlegung zu b richtig ? Habe nämlich angefangen zu rechnen, komme aber leider nicht weiter.

(2p₁,2p₂) (v₁,v₂)^T =0= 2p₁v₁+2p₂v₂ ..... wenn das richtig aufgestellt ist, weiß ich leider nicht weiter :(

Es ist lange her, dass ich LinA abgeschlossen habe.