Totales Differential einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt farbigen Kunstoff her. Der Funktionswert
f (x, y) = e^{x+3y^2}
gibt an, wie viel Gramm Farbstoff man der Mischung aus x Litern Polyesterharz und y
Litern Epoxidharz im weiteren Produktionsverfahren zusetzen muss.
a) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials df, um wie viel Gramm sich der Farbstoffbedarf näherungsweise ändert, wenn x von 4 auf 4.2 Liter und y von 1.2 auf 1.23 Liter erhöht werden.

Wie berechnet man das?

Problem/Ansatz:

...

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential von$$f(x,y)=e^{x+3y^2}$$bildest du mit der Kettenregel:$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$Bei den partiellen Ableitungen (\(\partial\)) betrachtest du alle Variablen als konstante Zahlen, außer die eine Variable, nach der abgeleitet wird. Das ergibt:$$df=\left(e^{x+3y^2}\cdot1\right)dx+\left(e^{x+3y^2}\cdot6y\right)dy=e^{x+3y^2}\left(dx+6y\,dy\right)$$Nun ändert sich \(x\) von \(4\) auf \(4,2\) und \(y\) von \(1,2\) auf \(1,23\). Das heißt:$$x=4\quad;\quad dx=0,2\quad;\quad y=1,2\quad;\quad dy=0,03$$

Wir setzen die Werte in das totale Differential ein und erhalten als lineare Abschätzung für die Änderung des Funktionswertes:$$df=e^{4+3\cdot1,2^2}(0,2+6\cdot1,2\cdot0,03)\approx1707,7466$$