Umformung einer Matrix zur Bestimmung der Determinante

Question

Aufgabe:

Ich soll bei dieser Aufgabe die Determinante einer 4x4 Matrix bestimmen, dabei haben wir gelernt, dass wir eine Zeile oder Spalte von dieser Matrix erstmal so umformen sollen das dadurch eine Zeile/Spalte steht in der nur eine Zahl/Variable vorhanden ist. Ich mach bei dieser Umformung aber durchgehend irgendeinen Fehler und ich versteh nicht wirklich woran das liegt. Laut dem Programm das ich benutze müsste für die Determinante von A 64 rauskommen.

Answer 1

Hallo,

Deine erste Umformung ist korrekt:$$\det\begin{pmatrix}\alpha& 0& 2& 2\\ -2& 2& -2& 2\\ 2& 2& -2& 2\\ 2& 0& 2& -2\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\alpha& 0& 2& 2\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 2& -4& 4\\ 2& 0& 2& -2\end{pmatrix}$$Weiter muss es aber heißen$$\begin{aligned}\dots &= 2 \det\begin{pmatrix}\alpha & 2& 2\\ 0& -4& 4\\ 2& \colorbox{yellow}{2}& \colorbox{yellow}{-2}\end{pmatrix} \\&= 2 \left[ \alpha \det\begin{pmatrix}-4& 4\\ 2& -2\end{pmatrix} + 2 \det\begin{pmatrix}2& 2\\ -4& 4\end{pmatrix} \right] \\&= 2\left[ \alpha(8-8) + 2(8 + 8)\right] \\&= 64\end{aligned}$$

Nachtrag:

über den Fehler, den Du beim zweiten Versuch gemacht hast, musste ich erstmal nachdenken. ich benenne die Zeilen von oben nach unten dazu mit \(z_1\) bis \(z_4\).

Im ersten Schritt hast Du gemacht: \(z_2' = z_2 +z_3\) passt!

\(z_2'\) ist die neue Zeile. Im zweiten Schritt: \(z_3' = z_3 - z_4\) so weit so gut.

Im dritten Schritt existiert aber die Zeile \(z_2\) nicht mehr in der Form, da Du sie oben bereits verändert hast. Aus den Zeilen \(z_4\) und \(z_3'\) stelle ich zunächst \(z_3\) wieder her$$z_3 = z_3' + z_4$$und daraus wieder die 'alte' Zeile \(z_2\), die Du verwendest hast:$$z_2 = z_2' - z_3 = z_2' - (z_3' + z_4) = z_2' - z_3' - z_4$$und nun hast Du gemacht$$z_4' = z_4 + z_2 = z_4 + z_2' - z_3' - z_4 = z_2' - z_3'$$Und so hast Du die Zeile \(z_4\) vollständig verschwinden lassen und durch eine Kombination von \(z_2'\) und \(z_3'\) ersetzt! Und damit sind die neuen Zeilen \(z_2'\), \(z_3'\) und \(z_4'\) linear abhängig und die Determinante der Teilmatrix unten rechts ist \(=0\).

Also bei elementaren Zeilenumformungen keine 'Vorgänger'-Zeilen verwenden (hier \(z_2\)), die bereits verändert worden sind!

Comments

ich habe meine Antwort noch ergänzt.

Answer 2

Ich würde die Determinanten-Entwicklung n>2 nie handschriftlich anwenden wollen.

Grundsätzlich empfehle ich eine Dreiecksmatrix zu bauen um die Determinante an der Diagonalen ablesen zu können:

Ex(z,s,a,n) = Zeile z = Zeile z+a Zeile s, n=4

T(z,s,n) = tausche Zeile z und s

Ex(4,3,-1,4) Ex(3,2,-a/4,4) T(2,3,4) Ex(2,1,a/2,4) T(1,2,4) Ex(4,3,-1/2,4) Ex(4,2,1,4) Ex(3,2,1,4) A

macht (2 Zeilentausche -*-=+ | vermeide Division durch a)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}-2&2&-2&2\\0&4&-4&4\\0&0&2&2\\0&0&0&-4\\\end{array}\right)\)

Add det entwicklung

\(\small \left|\begin{array}{rrrr}a & 0 & 2 & 2\cr 0 & 2 & 0 & 0\cr 0 & 2 & -4 & 4\cr 2 & 0 & 2 & -2\end{array} \right| =\)

\(\small a \left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\cr 2 & -4 & 4\cr 0 & 2 & -2\end{array} \right| -2 \left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 2\cr 2 & 0 & 0\cr 2 & -4 & 4\end{array}\right| \)

\( \small a \left( 2 \left| \begin{array}{rr}-4 & 4\cr 2 & -2\end{array} \right| \right) -2 \left(-2 \left| \begin{array}{rr}2 & 2\cr -4 & 4\end{array}\right| \right)  \)

Ich hoffe, daß ich die Entwicklung richtig zusammengeklöppelt habe