Bestimmen Sie alle Eigenräume von f und entscheiden Sie, ob f diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei B = {a; b} eine Basis von Z²₃
Betrachten Sie die lineare Abbildung f : Z²₃ → Z²₃  ,die durch
a ↦ a + b

b → 2b
definiert wird. Bestimmen Sie alle Eigenräume von f und entscheiden Sie, ob f diagonalisierbar ist. Bestimmen
Sie gegebenenfalls eine Basis C von Z²₃  ,sodass DC;C(f) eine Diagonalmatrix ist, sowie DC;C(f)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir leider immer noch sehr unsicher wie man Eigenräume aus dieser Art von Aufgabe bestimmt, zudem bin ich mir unsicher inwiefern man hier dafür noch eine Basis C bestimmen soll.

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

ich würde das über die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis B bearbeiten. Möglicherweise nennt Ihr das DB;B(f)? Jedenfalls wäre das

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}$$

Davon wären die Eigenwerte ja 1 und 2. Wie wären die Eigenvektoren von A? Diese ergeben ja die Koeffizienten bezüglich B für die gesuchten Eigenvektoren von f und diese bilden die gesuchte Basis C

Gruß