Äquivalenzrelationen, Abbildungen beweisen

Question

Sei \( K \) ein Körper und \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \) -Vektorraum. Wir betrachten auf End \( (V) \) die Relation
\( f \sim g \Longleftrightarrow \operatorname{kern}(f)=\operatorname{kern}(g) \)
Dies ist eine Äquivalenzrelation (das brauchen Sie nicht zu zeigen).
(a) Zeigen Sie, dass
\( \begin{aligned} F: \operatorname{End}(V) / \sim & \longrightarrow \mathbb{N} \\ X & \longmapsto \operatorname{rg}(f) \text { für ein } f \in X \end{aligned} \)
eine wohldefinierte Abbildung ist.
Punkte)
(b) Ist die in (a) definierte Abbildung bijektiv?

Habe leider keinen Ansatz, wisst ihr wie das geht?

Answer 1

\(X \longmapsto \operatorname{rg}(f) \text { für ein } f \in X\)

Sei \(X \in \operatorname{End}(V)/\sim\). Wenn es \(f,g\in X\) gibt, so das \(\operatorname{rg}(f) \neq \operatorname{rg}(g)\) ist, dann ist \(F\) nicht wohldefiniert.

Comments

Hallo oswald, danke für den Tipp!

Ich habe folgenden Ansatz gehabt, auch zu a), aber da bin ich etwas unsicher. Könntest du bitte kurz rüberschauen, ob das so richtig ist?

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Ich sehe den Zusammenhang zwischen deinem Komentar und der Frage von johny.tek nicht.