Seiten Rechteck nur mit Fläche?

Question

Aufgabe:

Seitenlängen eines Rechtecks berechnen nur aufgrund der Fläche

Problem/Ansatz:

Wir haben eine Aufgabe zu lösen: Gegeben ist eine Figur, die ursprünglich ein Rechteck war. Dieses Rechteck war zunächst vollständig aus quadratischen Kästchen mit einer Seitenlänge von jeweils 1cm zusammengesetzt. Hiervon wurden jeweils an einigen Ecken einzelne Käschen entfernt.

Bei der Figur nun ist nur die Anzahl der GEsamtkästchen gegeben. Folgere allein mit dieser Angabe, wie lang und breit das Rechteck ursprünglich war. Es sind 2021 Kästchen.

Aufgrund der Skizze sieht man, dass insgesamt 12 Kästchen an den Ecken fehlen. Es sind also Total 2033 Kästchen als Gesamtfläche.

Wir haben nun schon wie wild gegoogelt, aber leider nichts gefunden.

Kann uns hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank!

Answer 1

Es sind also Total 2033 Kästchen als Gesamtfläche.

Finde heraus welche zwei natürliche Zahlen man miteinander multiplizieren kann um 2033 zu bekommen.

Oder anders formuliert, finde heraus durch welche natürliche Zahl man 2033 teilen kann.

Tipp 1. Es gibt sogenannte Teilbarkeitsregeln, mit denen du überprüfen kannst ob eine Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 8 oder 9 teilbar ist ohne tatsächlich zu teilen. Kennst du sie?

Tipp 2. Welche einstelligen Zahlen kann man multiplizieren, damit im Ergebnis an der Einerstelle eine 3 steht?

Tipp 3. Die Aufgabe ist nicht so gedacht, dass es einen fertig vorbereiteten Rechenweg gibt, der dir das Ergebnis liefert. Du wirst ausprobieren müssen.

Comments

Vielen Dank, das Ergebnis ist 19x107, das hab ich durch ausprobieren herausgefunden. Aber mir ist nicht klar wie ich es berechnen kann oder wie ich darauf komme, dass es eine Primzahl sein muss.

Wie ist der Weg das herauszufinden ohne dass ich es ausprobieren muss, also wie kann ich es berechnen. Die Teilbarkeitsregeln kann man anwenden und stellt dann fest, es ist keine Zahl unter 10. Folglich muss es eine Primzahl sein. Aber eben, wie weiter in der Erklärung? Ich stehe hier leider auf dem Schlauch...

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Wenn du 2033 durch 19 teilst, wirst du feststellen, dass das Ergebnis AUCH eine Prrimzahl ist.

So gibt es nur zwei Möglichkeiten, ein Rechteck mit 2033 Kästchen zu erhalten:

2033*1

und 19*...

Da man bei der ersten Möglichkeit sicher nicht die beschriebenen Kästchen an den Ecken wegnehmen kann, bleibt nur die zweite Möglichkeit.

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aber komme ich nur durch ausprobieren auf die 19? Oder gibt es dazu einen "Rechenweg"?

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Ja , es geht nur durch Ausprobieren.

Du musst alle Primfaktoren von 2, 3, 5, 7, ... bis zum Erreichen von \( \sqrt{2033} \) (also ca. bis 45) testen.

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OK, dann kann ich jetzt aufhören, nach einem Rechenweg zu suchen :-).

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wie ich es berechnen kann

Durch ausprobieren.

Mathematische Überlegungen helfen dabei, nicht wild im Nebel zu stochern, sondern gezielt zu probieren.

Die 3 an der Einerstelle kann nur durch 1·3 = 3 oder 7·9 = 63 zustande gekommen sein. Die gesuchten Zahlen haben also entweder 1 und 3 an der Einertelle oder 7 und 9 an der Einerstelle. Von den Zahlen bis 10 hat man so schon sechs ausgeschlossen.

Die Quesrsumme von 2033 ist 2+0+3+3 = 8. Laut Teilbarkeitsregeln ist 2033 weder durch 3, noch durch 9 teilbar.

Durch die schriftliche Division 2033:7 findet man heraus, dass 2033 nicht durch 7 teilbar ist.

Somit sind die Zahlen bis 9 ausgeschlossen.

Als nächstes prüft man, ob 2033 durch 11, 13, 17 oder 19 teilbar ist.Das mach man am einfachsten indem man tatsächlich teilt. Wegen der eingangs erwähnten Überlegung, braucht man sich um 10, 12, 14, 15, 16, 18 nicht zu kümmern.

wie ich darauf komme, dass es eine Primzahl sein muss.

Wenn es keine Primzahl wäre, dann würde es mehrere Möglichkeiten geben. Zum Beispiel kann man aus 36 Quadraten ein Rechteck mit 4×9 Kästechen legen, aber auch eines mir 3×9 Kästchen.

Answer 2

Wenn du den Taschenrechner fx991 DE X hast, kannst du die Primfaktoren herausfinden.
Dazu musst du die Taste [SHIFT] FACT verwenden, die über der ENG-Taste liegt.

Mit Hilfe des Internets kannst du Factor(2033) suchen.

Ohne Hilfsmittel ist es schwierig.

:-)