Aloha :)
Wenn wir die Nebenbedingung nach \(y\) umstellen, haben wir:$$F(x,y)=xy\quad;\quad y=10-\frac{5}{2}x$$Die zweite Gleichung setzen wir in die Funktionsgleichung ein:
$$F(x,y)=x\left(10-\frac{5}{2}x\right)=10x-\frac{5}{2}x^2=-\frac{5}{2}x^2+10x-10+10$$$$\phantom{F(x,y)}=\left(-\frac{5}{2}x^2+10x-10\right)+10=-\frac{5}{2}\left(x^2-4x+4\right)+10=10-\frac{5}{2}(x-2)^2$$Da \((x-2)^2\ge0\) ist, wird \(F(x,y)\) am größten, wenn wir nichts abziehen, wenn also \(x=2\) ist. Mit der Nebenbedingung von oben finden wir noch \(y=10-\frac{5}{2}\cdot2=5\).
Das Maximum wird also erreicht für \(x=2\) und \(y=5\) mit \(F(2;5)=10\).
Alternativ zu der Umformung von oben, könntest du auch die Ableitung der Funktion:$$F(x,y)=10x-\frac{5}{2}x^2\eqqcolon f(x)$$gleich null setzen:$$0\stackrel!=f'(x)=10-5x\implies x=2$$und mit der zweiten Ableitung prüfen, welche Art Extremum vorliegt:$$f''(x)=-5<0\implies\text{(globales) Maximum}$$
