Volumen eines Teilstück

Question

ich möchte ein Teil Stück vom Volumen einer Kugel Berechnen.

Der Radius der Kugel ist bekannt (1107,40mm) und die Höhe des zu berechnenden Stück ist ebenfalls bekannt (95mm). Mithilfe welcher Formel kann man es berechnen

Answer 1

Das ist ein Kugelsegment

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment

Comments

Also:

\( V_{r, h}=\frac{\pi}{3} \cdot h^{2}(3 r-h) \)

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@ MontyPython

Das ist gut. Dann brauch der Fragesteller auf der Seite nicht suchen...

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Sorry, aber da blicke ich noch nicht ganz durch...

Ich habe eine Kugelteil, wo der Radius errechnet 1107mm (mit dieser Formel = r = (a²+ h²)/(2*h)) ist, gegeben habe ich h=380mm und a= 835mm

Das Volumen dieser Teilkugel habe ich dann mit V=(PI/3)*h²*(3*r-h) berechnet und es kommt 444,91dm³ heraus. Ist das soweit richtig?

Und mit der Formel V=(PI/6)*h*(3*a²+h²) mit den Werten h=380mm und a=835mm, ergibt dann 34,12dm³

Wäre das soweit richtig?

Wenn ja geht es jetzt weiter. Wie muss man es berechnen, wenn sich der Füllstand der Teilkugel ändert?

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V = pi/3·95^2·(3·1107.4 - 95) = 30500131 mm³ = 30.50 dm³

Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du gerechnet hast.

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Habe den Fehler jetzt gefunden!

Ist es richtig, wenn ich diese Formel verwende, ist das Ergebnis doch direkt für 2 Kugelhälften und muss nicht mehr doppelt gerechnet werden, oder?

Habe einen liegenden Zylinder, mit 2 Halbkugel, wo ich das Volumen berechnen möchte... Die Zylinder Berechnung ist bereits fertig!

Damit ihr euch es besser vorstellen könnt, es ist eine Zisterne: Roth Rund 6000 l, der Grüne

kann hier leider kein Foto reinsetzen

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Klingt nach Realschule und du brauchst eventuell tatsächlich nur 2 Halbkugeln also eine ganze Kugel berechnen und kein Kugelsegment.

Aber ich kann mich auch irren. Zumindest gabs in Hamburg glaub ich mal eine MSA Prüfungsaufgabe in der Art wie du das Beschrieben hast.

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Nein, leider sind es keine Halbkugeln. Das ist ja mein Problem...

Habe den Radius bereits berechnet.

r=1107,4mm

Jetzt geht es weiter der Durchmesser des zu berechnenden Volumen ist 1670mm. Das Maß ist max. 380mm

Wie kann man jetzt das Wasservolumen berechnen?

den a wäre ja dann die Füllstandshöhe und h verändert sich ja ebenfalls..

Für den liegenden Zylinder ist die Formel ja "V=(PI/3)*h²*(3*r-h)"

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Wenn ich es richtig sehe, ist diese Formel die Richtige:

V=(PI/3)*(r±WURZEL(r²-a²)*(a²+r*(r±*WURZEL(r²-a²)))

Wobei dann "r" der errechnete Raduis der Gesamt Kugel ist und "a" der aktuelle Füllstand.

Habe ich es richtig interpretiert?

Nur wie wird das "±" gerechnet bzw. was hat es für eine Bedeutung?

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Im meinem Beitrag von der Formel ist ein Fehler drin hier die richtige:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9168ec9d8d9e27be2c72af1211e16da806eb1520

Das Komischer ist, das ich dort viel zu hohe Werte heraus bekomme!

Das Volumen eines Kugelsegment beträgt 444,91dm³ und mit der Formel bekomme ich Werte mit über 1000 heraus...

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Nun haben aber auch andere die von mir gefundenen Formel erwähnt.

https://www.yaclass.at/p/mathematik/8-schulstufe/geometrie-runder-figuren-16741/kugel-und-sphaere-14968/re-aa06b0bf-b6d4-4b72-bb90-5e044704ef46#:~:text=Das%20Volumen%20eines%20Kugelsegments%20wird,der%20Radius%20der%20Kugel%20verwendet.

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Wenn du die Aufgabe mal zur Verfügung stellst kann ich sicher noch besser helfen.

Answer 2

\( V=\int\limits_{r-h}^{r} π(r^2+x^2)dx\)

\( V=π\int\limits_{r-h}^{r} (r^2+x^2)dx\)

\(V=π(r^2x+1/3x^3)|_{r-h}^r \)

\(V=π(r^3+1/3r^3) - π(r^2*(r-h)+1/3(r-h)^3)\)

\(V=π(rh^2-1/3h^3 )\)

Comments

Mit dieser Formel sollte es gehen?

Wenn ja brauche ich die Formel etwas erklärt r und h sind klar.

Aber was bedeutet das Symbol "S" und wofür steht das x?

Mit "d" wird denke ich der Füllstand gemeint sein oder?

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Zum Rechnen ist nur die letzte Formel entscheidend.

Das S ist das Integralzeichen, das dx gehört zum Integral.

Das habe ich alles nur hingeschrieben, weil ich die Formel nicht kenne.

Ich habe mir also kleine Salamischeiben von der Dicke dx von meiner Kugel gemacht und diese aufsummiert. Bei r-dx habe ich angefangen zu schneiden und bei r-h habe ich dann aufgehört. Wobei h<r.

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Also wäre es jetzt beim einsetzen der Werte so:

r= gesamt Radius der Kugel

h= Füllstand

Richtig? Oder muss da noch étwas berechnet werden?

Komme dann auf Werte von 5273dm³ ist auch nicht richtig...was mache ich falsch?

Da das Kugelsegment ja nur ein max. Volumen von 444,91dm³ hat.

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Vielleicht habe ich ja auch etwas falsch gemacht. Im Moment kann ich schlecht sehen, und bin mir nicht zu 100% sicher. Leider habe ich auch keine Zeit. Entweder es findet sich noch jemand, der was dazu sagen kann, oder ich melde mich später.

Tut mir leid, doch ich sitze an Smartphone und die Buchstaben verschwimmen vor meinen Augen.

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Ich befürchte, dass ich mich beim Vorzeichen vertan habe. Die Formel wurde dafür jetzt noch einfacher und auch plausibel, wenn h=r , passt es zur Halbkugel. Entschuldige die Missgeschick bitte.

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Kein Problem, bin über jede Hilfe dankbar. Würde es alleine nicht hinbekommen!

Zur erklärung für alle, damit es verstänflicher wird:

Benötige eine Formel, womit ich das Volumen einer "Kugelkappe" berechnen kann.

Wichtig ist, der Wert für im Bild "a" muss als Füllstand eintragbar sein und darf kein Radius Wert sein, sondern der Komplette Durchmesser, da sich dieser Wert ja ändert! Den Kugelradius habe ich und auch den festen Wert "h"

Meine Beschreibung geht zurück auf das Bild bei Wikipedia "Kugelsegment"

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Nun fühle ich mich zumindest bestätigt. Meine letzte Formel stimmt.

https://www.yaclass.at/p/mathematik/8-schulstufe/geometrie-runder-figuren-16741/kugel-und-sphaere-14968/re-aa06b0bf-b6d4-4b72-bb90-5e044704ef46#:~:text=Das%20Volumen%20eines%20Kugelsegments%20wird,der%20Radius%20der%20Kugel%20verwendet.

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In Wikipedia ist a der Radius der Grundfläche. Die Füllungen ist das von mir und Wikipedia angegebene h. Wenn h=r , bekommen wir die Halbkugel. Meine Formel die Formel des Kreissegments in meinem Link und die bei Wikipedia sehen alle drei etwas anders aus, sind aber äquivalent. Alle sind richtig.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment

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Auf dieser seite kann ich es auch besser sehen:

https://www.yaclass.at/p/mathematik/8-schulstufe/geometrie-runder-figuren-16741/kugel-und-sphaere-14968/re-aa06b0bf-b6d4-4b72-bb90-5e044704ef46#:~:text=Das%20Volumen%20eines%20Kugelsegments%20wird,der%20Radius%20der%20Kugel%20verwendet

Für "h" müsste ich dann die 380mm eintragen und für "r" wäre dann die aktuelle Füllhöhe?

Wobei sich ja "h" ebenfalls bei kleineren "r" verändert...und r ist doch ein Radius, würde ja als Füllhöhe auch nicht gehen.

Wie muss ich jetzt vorgehen?

es ist ja keine Halbkugel!

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r ist der Radius der Kugel, ein aufgeschnittenner Plastikball . h ist die Füllhöhe, nehmen wir an, dass wir darin Wasser gefüllt haben. Der Wasserstand ist dann kleiner als r. a ist dann der Radius der Wasseroberfläche, doch zur Berechnung ist es nicht wichtig.

h=95 mm r= 1107,40 mm

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Da das Kugelsegment ja nur ein max. Volumen von 444,91dm³ hat.

\( \frac{\pi}{3} h^{2}(3 r-h) \)

ergibt mit \( r=11.074, h=3.8 \)

V=444.906

:-)