Welche der folgenden Matrizen können nicht zu A konjugiert sein?

Question

Aufgabe:

Die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) sei reell diagonalisicbar, habe den Rang 2 und es sei Spur \( A=6 \). Welche der folgenden Matrizen können nicht zu \( A \) konjugiert sein?

6	0	0
0	0	0
0	0	0

,

-1	1	0
0	7	0
0	0	0

,

3	1	0
0	3	0
0	0	0

Problem/Ansatz:

Ich bitte um eine Erklärung:)

Comments

ich weiß jetzt, dass die konjugierte Matrix gleich die Ausgangsmatrix ist ( bei reell)

D.h. das diese auch Rand =2 und Spur =6 hat.

erste Matrix kann nicht zu A Konjugiert sein, weil Rang=1.

Wie kann ich die schauen, ob ich die anderen ausschließen kann?

Muss ich schauen welche reell diagonalisierbar ist und wie mach ich das?

Und ich weiß das eine konjugierte selbstinvers, linear und objektiv sein muss.

Laut matrixcalc. ist komischerweise aber gar keine invertierbar??

---

Ich hab gelesen das reel diagonalisierbar heißt, dass die Matrix verschiedene EW hat.

Da zweite Matrix 0,-1,7 hat  und   dritte Matrix 0,0,3  hat,

ist die dritte NICHT diagonalisierbar ( und die erste auch nicht)

Meine einzige Frage ist noch:

Die Konjugierte muss doch linear, objektiv, und selbstinvers sein?

Wie zeige ich die einzelnen Eigenschaften und stimmt es dass keine selbstinvers ist(laut martixcalc.) Kann ja nicht stimmen oder?

Answer 1

Die erste Matrix hat Spur=6 und liegt bereits in Diagonalform vor,
hat aber den Rang 1.

Die zweite Matrix hat den richtigen Rang und die richtige Spur.
Ihre Eigenwerte stehen auf der Diagonale und sind paarweise
verschieden, also ist die Matrix diagonalisierbar.

Die dritte matrix hat richtigen Rang und richtige Spur.
die beiden Eigenwerte 0 und 3 stehen in der Diagonalen.
Der Eigenwert 3 hat aber die geometrische Vielfachheit 1
und die algebraische Vielfachheit 2. Da beide unterschiedlich
sind, gibt es keine Basis aus Eigenvektoren, also Matrix
nicht diagonalisierbar.