jeweils algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte angeben

Question

Aufgabe:

Die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) sei reell diagonalisierbar, besitze als einzige Eigenwerte

\( \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=3 , \lambda_{3}=7 \) und es gelte det \( A=-189 \).

Geben Sie jeweils die algebraische und die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte an.

algebraische Vielfachheiten: e1= ?, e2=?, e3=?

geometrische Vielfachheit:   d1=?  ,  d2=?,  d3=?

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte. Es gibt daher einen vierten Eigenwert:$$\lambda_4=\frac{-189}{-3\cdot3\cdot7}=3$$Der Eigenwert \(3\) taucht daher doppelt auf.

Der EW \(3\) hat also die algebarische Vielfachheit \(2\), die beiden anderen EW \((-3)\) und \(7\) haben die algebraische Vielfachheit \(1\).

Da wir die Matrix nicht kennen, können wir nicht prüfen, wie viele linear unabhängige Eigenvektoren es zum Eigenwert \(3\) gibt. Allerdings ist die algebarische Vielfachheit immer \(\ge\) der geometrischen Vielfachheit. Der EW \(3\) hat also die geometrische Vielfachheit \(1\) oder \(2\), die beiden anderen EW \((-3)\) und \(7\) haben die geometrische Vielfachheit \(1\).

Comments

Danke dir :) Wie immer top erklärt!

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Diagonalisierbar heißt doch dass man eine Basis aus Eigenvektoren bilden kann. Sprich; alle EV müssen linear unabhängig sein.

Heißt das nicht das die geometrische Vielfachheit von 3 auch zwei ist, weil die EV dann auch Lin. unabhängig seien müssen?

Hab ich das so richtig verstanden?

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Damit eine Matrix diagonalisierbar ist, muss die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte gleich ihrer algebraischen sein. Du musst also für einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 auch 2 unterschiedliche Eigenvektoren angeben können, damit die Matrix diagonalisierbar ist.