Question

zeige:  cos : [0,π] → ℝ ist injektiv

mehr ist nicht gegeben.

Injektiv heißt: für alle x_1,x₂∈ D: f(x₁)=f(x₂)  ⇒x₁=x₂    natürlich kann man auch die Negation zeigen.

Ansatz:

cos : [0,π] → ℝ : x→ cos(x)

cos(x₁)=cos(x₂)  ⇒ x₁=x_{2   oder}  (x₁ ≠ x₂) ⇒ cos(x₁) ≠  cos(x₂)

was fehlt noch?

Answer 1

Die Induktionspfeile solltest du irgendwie begründen.

Ich würde hier mit der Ableitung arbeiten:

f(x) = cos(x)

f ' (x) = -sin (x)

sin(x) < 0 für x ∈ (0,π). D.h. cosx ist streng monoton fallend innerhalb des Intervalls.

Da zusätzlich cos(0) = 1 und cos(π) = -1 einmalige Werte, folgt: cos(x) ist im angegebenen Intervall injektiv. qed.

Daher stimmen

 

cos : [0,π] → ℝ : x→ cos(x)

cos(x₁)=cos(x₂)  ⇒ x₁=x_{2   oder}  (x₁ ≠ x₂) ⇒ cos(x₁) ≠  cos(x₂)

Comments

Danke Lu.

Ich habe gestern auch noch die Idee mit dem streng monoton fallen bekommen. Dein Weg ist wie ich finde der schönere. Im Skript bin ich aber noch nicht in diesem Kapitel.

Der Ansatz wäre daher, dass man cosinus als Potenzreihe auffassen kann und diese,ist im Intervall [0,2] streng monoton fallend nach einem Lemma aus VL. Weiter kann man mit cos(x)=cos(-x)=cos(π+x) und einer Umformung

zeigen, dass [,π/2, π] streng monoton fallend ist.

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Danke für die Rückmeldung. Schön, dass du da selbst was gebastelt hast mit 'streng monoton fallend', das aufgeht. Wenn im Skript Potenzreihen vor der Ableitung stehen, solltest du natürlich damit arbeiten.

Du brauchst hier doch ein Minus

cos(x)=cos(-x)= - cos(π+x) 

oder?