Zeigen sie dass die Polynomfunktion zwei verschiedene Nullstellen besitzt

Question

gegeben ist die Polynomfunktion P : [0, 1] → ℝ, P(x):=\( x^{5} \) -x+\( \frac{1}{2} \)

Ich soll nun zeigen, dass P zwei verschiedene Nullstellen besitzt

Ich weiß dass man für die Nullstelle die Gleichung gleich 0 setzen muss, weiß aber nicht wie sich die P : [0, 1] → ℝ darauf auswirkt.

Answer 1

Ein gutes Argument für zwei Nullstellen wäre, dass Hoch- und Tiefpunkt auf verschiedenen Seiten der x-Achse liegen...

...oder dass der Tiefpunkt im Intervall [0,1] unterhalb der x-Achse liegt, während f(0) und f(1) größer als 0 sind

Comments

Ah das macht Sinn, dankeschön

Answer 2

$$P : [0, 1] → ℝ,$$$$ P(x):= x^{5}  -x+ \frac{1}{2} $$$$ P'(x):= 5x^{4}  - \frac{1}{2} =0$$$$x^{4}  = \frac{1}{10}$$$$x= \sqrt[4]{0,1} ≈0,562$$$$ P(0,562):= 0,562^{5}  -0,562+ \frac{1}{2} $$$$ P(0,562):= 0,0562^  -0,562+ \frac{1}{2} $$$$P(0,562):<0$$TP

$$P(0)=1/2$$

$$P(1)=1/2$$

Am Rand des Intervall strebt der Funktionswert zu 0,5. Es gibt im Intervall ein lokales Minimum mit y <0 , da die Funktion stetig und differemzierbar ist , existieren im Intervall zwei Nullstellen.

Comments

Sehr clever! Klasse, vielen Dank