f(x)=1/10*(-x^3+9x^2-15x+56) . Sei a>0. Tangente im Punkt P(a;f(a)) hat die Steigung
f ' (a) = (1/10) *( -3a^3 +18a - 15) .
Gerade durch P und den Nullpunkt hätte die
Steigung f(a) / a = (1/10) *( -a^2 +9a -15 +56/a)
Wenn die Tangente durch den Nullpunkt geht, müssten beide
gleich sein:
(1/10) *( -3a^3 +18a - 15) = (1/10) *( -a^2 +9a -15 +56/a)
-3a^3 +18a - 15 = -a^2 +9a -15 +56/a
-2a^2 +9a - 56/a = 0
-2a^3 + 9a^2 - 56 = 0 #
Zeige: Diese Funktion g hat zwei lokale Extremwerte:
Ein Minimum bei a=0 mit Funktionswert -56
und ein Max. bei a=3 mit g(a) = -29 .
Es geht also von der -56 bei a=0 aus nach oben bis -29
und danach nur noch abwärts , also gibt es für a>0 keine
Nullstellen, die Gleichung # hat also keine positiven
Lösungen, also gibt es keinen Punkt P , bei dem
die Tangente die gleiche Steigung hat wie die Gerade
von P durch (0;0) , also geht die Tangente nie durch (0;0).
