Tangente durch einen Punkt nicht auf der Kurve

Question

Und zwar stehe ich gerade vor folgender Aufgabe:

Es ist die Funktionsgleichung f(x)=-1/10*x^3+2,5x gegeben.
Desweiteren der Punkt P (3;5)

Es sollen nun die Tangenten der Kurve bestimmt werden welche durch den Punkt gehen.
Bisher habe ich folgenden Ansatz:

m=(y_1 - y_0)/(x_1 - x_0) = f'(x) = (5-f(x))/(3 - x_0)

Woraus nach dem Einsetzen und Umformung von f'(x) und f(x) folgt:

f_2(x)=2/10x^3 - 9/10x^2 +2,5 = 0

Doch ab hier steh ich ein wenig auf dem Schlauch wie ich weiter vorgehen soll. Ich weiß, dass die Nullstelle von f_2(x) auf meiner gesuchten Tangente liegt, doch ist mir ebenfalls nicht so ganz schlüssig warum.

mfg

Answer 1

Vielleicht reicht dir meine Antwort unter

https://www.mathelounge.de/277423/wie-lautet-die-gleichung-der-tangente-die-durch-punkt-geht-mit

schon. Ansonsten wieder melden.

Comments

Vielen dank erstmal, und ja sie hilft mir ein wenig. Allerdings nur für das Allgemeine Verständnis solcher Aufgaben, nur nicht speziell bei meiner.

Seh ich das denn soweit richtig das ich von meine Gleichung 2/10* x³ -9/10* x² +2,5 nur noch die Nullstelle Bestimmen muss, welche auf meiner Geraden liegt und daraus dann die Geradengleichung?

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Hier die Berechnung nach meinem Link

Nach Umstellung der Gleichung kommt dein f_2 heraus.

Die Lösungen der Gleichung könne z.B. mit dem Newton Verfahren
ermittelt werden ( sehr arbeitsaufwendig ) oder mit einem Matheprogramm.
x1 = -1.45
x2 = 2.5
x3 = 3.45

Dies sind die x-Stellen ( Berührpunkte ) einer Tangente
an f ( x ) die durch den Punkt ( 3  | 5 ) gehen
f ( -1,45 ) = -3.32
Wir haben jetzt 2 Punkte der Tangente
( -1,45  | -3.32 ) ( 3 | 5 )  und können damit
eine Geraden- / Tangentengleichung ermitteln.

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Super vielen dank, allerdings bleibt für mich noch offen woher ich weiß welchen Nullstelle ich verwenden muss? Wenn ich keinen Graphen zur veranschaulichung habe besteht ja so die möglichkeit 3 Geradengleichungen aufzustellen oder nicht?

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Hier der Graph

~plot~ -1/10*x^3 + 2.5* x ; 1.87 * x - 0.61 ~plot~

Es gibt 3 Tangenten.
Wenn du die anderen Tangenten berechnest füge ich diese
in den Graph noch ein.

( Zum Hinaus- und Hineinzoomen das Mausrad nutzen )