Bestimmen Sie den Flächenvektor \vec{f}, so dass die z -Komponente positiv ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Flächenvektor \( \vec{f}, \) so dass die \( z \) -Komponente positiv ist.

Gegeben seien die Punkte \( \mathrm{A}=(-4,1,4), \mathrm{B}=(-2,10,1) \) und \( \mathrm{C}=(-11,14,8) \) des Parallelogramms \( \mathrm{ABCD} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir gedacht, dass die Strecke BC die gleiche sein muss wie AD, also habe ich BC (-9, 4,7) zu A dazu gerechnet und bin auf (-13,5,11) gekommen. Die Fläche habe ich dann mittels des Kreuzproduktes (75,13,89) und dem Betrag davon, 117,1, gerechnet.  

Ich weiß mittlerweile, dass ein Flächenvektor senkrecht auf der Fläche stehen muss und ich ziemlich sicher wieder das Kreuzprodukt verwenden muss, aber wie mache ich es, dass der Betrag davon die Fläche ist und wie versichere ich, dass eine positive z-Komponente raus kommt?

Answer 1

Hallo,

Ich habe mir gedacht, dass die Strecke BC die gleiche sein muss wie AD, also habe ich BC (-9, 4,7) zu A dazu gerechnet und bin auf (-13,5,11) gekommen.

das ist korrekt

Die Fläche habe ich dann mittels des Kreuzproduktes (75,13,89) und dem Betrag davon, 117,1, gerechnet.

auch richtig!

Ich weiß mittlerweile, dass ein Flächenvektor senkrecht auf der Fläche stehen muss und ich ziemlich sicher wieder das Kreuzprodukt verwenden muss, aber wie mache ich es, dass der Betrag davon die Fläche ist

Das hast Du bereits getan. Die Fläche des Parallelogramms \(ABCD\) ist der Betrag des Kreuzprodukts zweier benachbarter Seiten-Vektoren$$F = |\vec {AB} \times \vec {BC}| =  \left| \begin{pmatrix}2\\ 9\\ -3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-9\\ 4\\ 7\end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix}75\\ 13\\ 89\end{pmatrix}\right| = \sqrt{13715} \approx 117,1$$

und wie versichere ich, dass eine positive z-Komponente raus kommt?

Du hättest genauso gut \(\vec {BC} \times \vec {AB}\) rechnen können. Für den Betrag macht das keinen Unterschied, aber \(\vec f\) würde dann genau in die Gegenrichtung zeigen$$\vec f = \begin{pmatrix}-75\\ -13\\ -89\end{pmatrix}$$Die Z-Koordinate ist nun negativ. In diesem Fall hätte man den Vektor \(\vec f\) mit \(-1\) multipliziert,so dass die Z-Kordinate positiv wird.