Berechnen Sie die Grenzwerte von folgenden Folgen an? (3n+1)/√(4n^2 + 1), (-1/3)^n

Question

Berechnen Sie die Grenzwerte von folgenden Folgen:

a. \( \frac{3 n+1}{\sqrt{4 n^{2}+1}} \)
b. \( \quad \cos (\mathrm{n} \pi) \)
c. \( \sqrt{n^{2}+5 n}-n \)
d. \( (-\frac{1}{3})^{n} \)
e. \( \frac{1}{n^{2}-1} \)
f. \( \frac{n^{6}+n^{2}}{2 n^{3}-1} \)

Answer 1

Grenzwerte für n→∞:

a) (3n+1)/√(4n²+1) = (3n+1)/√[n²*(4+1/n²)] =(3n+1)/(n*√(4+1/n²)) = (3+1/n)/√(4+1/n²)

     für n→∞ (3+0)/ √(4+0)= 3/2

b) Alternierende Reihe zwischen -1 und 1, daher hat sie keinen Grenzwert.

d) 0

e) 1/(n²-1) = 1/n²/(1-1/n²)

     für n→∞ 0/(1-0) = 0

f)(n⁶+n²)/(2n³-1) = (n³+ 1/n)/(2-1/n³)

     für n→∞ (∞+0)/(2-0) = ∞

zu d) nur n→∞: -1/∞ = 0

zu c)

Erweitern mit √(n²+5n) + n

Dann entsteht:

   (√(n²+5n) - n) * (√(n²+5n) + n )/ (√(n²+5n) + n )

Jetzt 3. Binomische Formel im Zähler anwenden und n² in der Wurzel im Nenner ausklammern

 ((n²+5n) - n²)/(√(n²*(1+5/n)) + n )

           5n /   [√(n²)* √(1+5/n)+n]

           5n /   [n* √(1+5/n) + n]

           5n /   [n * (√(1+5/n) + 1)

           5  /  (√(1+5/n) + 1)

für n→∞: 5/ (√(1+0) + 1) = 5/2

Comments

Hat eine alternierende Folge nie einen Grenzwert? Also wenn da cos oder sin steht kann ich gleich hin schreiben: KEINEN Grenzwert?

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(-1/3)^n ist eine alternierende Folge mit Grenzwert 0.

oder:

cos(nπ) hat keinen Grenzwert.
(1/n * cos(nπ)) dagegen schon.