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Aufgabe:

Bestimme die näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 =  2 mithilfe des Differenzquotienten für h -> 0 wie im Beispiel a)

c) f(x) = 2x² - 3

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Was verstehst du an dem Beispiel nicht?

Ich verstehe diese Aufgabe nicht weil unsere Lehrerin gibt uns einfach eine Aufgabe und wir sollen die lösen

Das heißt, da ist gar kein Beispiel, obwohl in der Aufgabenstellung explizit ein Beispiel erwähnt wird?

a) f(x) = x²

Und zu a) ist doch auch eine Lösung angeben, oder?

Das ist alles was da steht

2 Antworten

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f(x) = 2x² - 3

Differenzquotient  (f(2+h) - f(2) ) / h

        =( 2*(2+h)^2 - 3 - 5 ) / h

       = (8h + 2h^2 ) / h

         = 8+2h   für h gegen 0 geht das gegen 8.

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Ableitung der Funktion f

Das ist die Steigung der Tangente.

Bestimme näherungsweise

Die Tangente kann durch eine Sekante angenähert werden.

Für eine Sekante benötigt man zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen.

an der Stelle x0 =  2

Der eine Punkt hat die Koordinaten \((2 | f(2))\).

für h -> 0

Der zweite Punkt hat die Koordinaten \((2 + h | f(2+h))\).

Die zwei Punkte setzt man in die Formel

        \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

oder auch

      \(m = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

ein, die du noch aus der Unterstufe kennst als ihr lineare Funktionen besprochen habt. Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Formel heißt Differenzenquotient.

Durch Einsetzen der Punkte bekommt man

      \(m = \frac{f(2+h) - f(2)}{2+h - 2}\)

was sich vereinfachen lässt zu

      \(m = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\).

Jetzt setzt man den Funktionsterm ein

      \(m = \frac{(2(2+h)^2 - 3) - (2\cdot2^2 - 3)}{h}\)

und vereinfacht

      \(m = \frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\).

Um aus dieser Sekantensteigung die Tangentensteigung zu bekommen, müssen die zwei Punkte unendlich nahe beieinander liegen. Das heißt \(h = 0\). Im Moment kann man das aber nicht einsetzen, weil da ein \(h\) im Nenner steht und man nicht durch 0 teilen kann. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man das reparieren kann

  1. Man setzt für \(h\) Werte ein, die immer näher an der \(0\) liegen. Man füllt also z.B. folgende Tabelle aus
    \(h\)
    \(\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\)
    \(0{,}1\)

    \(0{,}01\)

    \(0{,}001\)

    \(\dots\)

    Nun schätzt man anhand der rechten Seite, was wohl die Tangentensteigung ist.

  2. Man formt den Term \(\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\) so um, dass man \(h=0\) einsetzen kann und setzt dann \(h=0\) ein.

Die erste Möglichkeit liefert eine Schätzung, also eine Näherungslösung. Die zweite Möglichkeit liefert das exakte Ergebnis.

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