Ableitung der Funktion f
Das ist die Steigung der Tangente.
Bestimme näherungsweise
Die Tangente kann durch eine Sekante angenähert werden.
Für eine Sekante benötigt man zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen.
an der Stelle x0 = 2
Der eine Punkt hat die Koordinaten \((2 | f(2))\).
für h -> 0
Der zweite Punkt hat die Koordinaten \((2 + h | f(2+h))\).
Die zwei Punkte setzt man in die Formel
\(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
oder auch
\(m = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)
ein, die du noch aus der Unterstufe kennst als ihr lineare Funktionen besprochen habt. Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Formel heißt Differenzenquotient.
Durch Einsetzen der Punkte bekommt man
\(m = \frac{f(2+h) - f(2)}{2+h - 2}\)
was sich vereinfachen lässt zu
\(m = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\).
Jetzt setzt man den Funktionsterm ein
\(m = \frac{(2(2+h)^2 - 3) - (2\cdot2^2 - 3)}{h}\)
und vereinfacht
\(m = \frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\).
Um aus dieser Sekantensteigung die Tangentensteigung zu bekommen, müssen die zwei Punkte unendlich nahe beieinander liegen. Das heißt \(h = 0\). Im Moment kann man das aber nicht einsetzen, weil da ein \(h\) im Nenner steht und man nicht durch 0 teilen kann. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man das reparieren kann
- Man setzt für \(h\) Werte ein, die immer näher an der \(0\) liegen. Man füllt also z.B. folgende Tabelle aus
\(h\)
| \(\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\)
|
\(0{,}1\)
|
|
\(0{,}01\)
|
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\(0{,}001\)
|
|
\(\dots\)
|
|
Nun schätzt man anhand der rechten Seite, was wohl die Tangentensteigung ist.
- Man formt den Term \(\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}\) so um, dass man \(h=0\) einsetzen kann und setzt dann \(h=0\) ein.
Die erste Möglichkeit liefert eine Schätzung, also eine Näherungslösung. Die zweite Möglichkeit liefert das exakte Ergebnis.
